朗道-利夫希兹方程

Template:TA 在物理學上，朗道-利夫希兹-吉爾伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert），是以列夫·達維多維奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨和T·L·吉爾伯特命名的物理方程，以差分方程為基礎闡述一個進動磁性粒子的自發磁化。由T·L·吉爾伯特修改列夫·達維多維奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨的方程得到。该方程可以描述无外场作用下粒子受平均场作用而产生的运动。该方程直接暗示了自旋系统存在孤子。 朗道-利夫希兹方程是非线性偏微分方程，该方程有单一孤子的严格解，对于多孤子情形，可以采取数值方法求解。該方程在在不同情形下模擬微磁性磁場的鐵磁性磁場，尤其孤子於磁場的時閾行為。. 附加方程用於闡述自旋极化电流对磁体的影响。

朗道-利夫希茲方程

朗道-利夫希茲方程：紅色代表進動藍色代表阻尼。磁化（虚线螺旋）的轨迹的简化假设，即有效場H_eff為恆定.

設一個鐵磁體，磁化強度M可在其內部發生變化，但每一點擁有相等的磁飽和強度M_S.朗道-利夫希兹-吉爾伯特方程對磁化響應于轉矩的旋轉，引入:

其中，Template:Math 是孤子旋磁比，Template:Math是現象阻尼參數，則：

$\lambda =\alpha \frac{\gamma }{M_{\mathrm{s}}},$

其中，Template:Math是一个无量纲常数，称为阻尼因子。有效場場H_eff為外部場的一個組合時，退磁場（磁化磁場）的量子力學效應。解方程前提是包含用於退磁場的附加方程。

採用不可逆的統計力學法，可獨立推導出朗道-利夫希茲方程。

朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程

1955年吉爾伯特由一個依賴於磁場的時間導數取代了朗道-利夫希茲的阻尼項： Template:NumBlk 其中，Template:Math 是材料特性的阻尼參數。它可以轉化為朗道-利夫希茲方程： Template:NumBlk 由此：

${\gamma }^{\prime }=\frac{\gamma }{1+{\gamma }^2{\eta }^2{M}_s^2}\text{and}\lambda =\frac{{\gamma }^2\eta }{1+{\gamma }^2{\eta }^2{M}_s^2}.$

此情形的朗道-利夫希茲方程中，進動期Template:Math依賴於阻尼項。這更好地代表現實中磁體影響時，阻尼較大。

方程形式

普通形式

该方程的基本思想就是，在规范场作用下，粒子的运动本身会产生电磁场，而这种电磁场可以自我驱动于每一个粒子

$\dot{\overrightarrow{m}}(x,t)=\overrightarrow{m}\times {\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{m}$

协变形式

协变情况下，$D_t={\partial }_t+iv\cdot \mathrm{\nabla }$, 这里的速度代表的是粒子运动的群速度。

$D_t\overrightarrow{m}(x,t)=\overrightarrow{m}\times {\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{m}$

物理意义

平均场引发的自我驱动往往具有自持效果，这种效果的体现就是一群粒子可以形成稳定的孤子波。这就是磁性孤子。

参考文献

• Landau-Lifshitz equation, B Guo and S Ding, World Scientific, ISBN 109812778756

延伸閱讀

• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Cite book
• Template:Citation This is only an abstract; the full report is "Armor Research Foundation Project No. A059, Supplementary Report, May 1, 1956", but was never published. A description of the work is given in Template:Citation
• Template:Citation
• Template:Citation
• Template:Citation
• Template:Citation
• Template:Citation