有限體積法

有限体积法（ 英文：finite volume method ）是一种以数值方法解偏微分方程的計算方式。 在有限體積法中，將要描述的物理實體切分為網格單元來描述，並使用发散定理，將所有包含发散项的偏微分方程中的體積積分轉換為表面积分。然后將每個網格的项加總，便成為每個有限體積表面的通量。因为進入给定體積的通量与离开相鄰體積的通量相同，所以这些方法是守恆的。该方法用於许多计算流体动力学軟體。

有限体积法常被拿來與有限元素分析做比較，后者使用節點值来近似導數，或者使用有限元方法来使用局部數值来逼近解的局部近似值，并通過將它們加總在一起来形成全域近似值。另一方面，有限體積法會計算某个體積中的網格解之平均，然后使用此平均值来決定單元内解的近似值。

舉例

一维平流問題：

$(1)\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}=0,t\ge 0.$

$\rho =\rho (x,t)$在這裡代表狀態變量， $f=f\left(\rho (x,t)\right)$代表的通量或流量$\rho$ 。習慣上，$f$正值代表向右流動，而$f$負值代表向左流動。如果假設式（1）表示恆定面積的流動介質，則可以空间域 $x$ ，细分為數個網格單元，以每個網格單元所佔的有限體積以$i$作為標記 。對於特定的單元$i$ ，我们可以定義該體積某物理量（ 壓力、溫度等 ）之通量或流量平均值${\rho }_i\left(t\right)=\rho (x,t)$在時間$t=t_1$和$x\in [x_{i-\frac{1}{2}},x_{i+\frac{1}{2}}]$ ，如式（2）

$(2){\overline{\rho }}_i\left(t_1\right)=\frac{1}{x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}}}\underset{x_{i-\frac{1}{2}}}{\overset{x_{i+\frac{1}{2}}}{\int }}\rho (x,t_1)dx,$

而在時間$t=t_2$時式（2）可寫為：

$(3){\overline{\rho }}_i\left(t_2\right)=\frac{1}{x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}}}\underset{x_{i-\frac{1}{2}}}{\overset{x_{i+\frac{1}{2}}}{\int }}\rho (x,t_2)dx,$

此處$x_{i-\frac{1}{2}}$和$x_{i+\frac{1}{2}}$分别代表上游和下游面或網格單元的交界面位置$i^{th}$。

將式（1）積分，可得：

$(4)\rho (x,t_2)=\rho (x,t_1)-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_x(x,t)dt,$

當$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

為了得到在時間$t=t_2$ 的有限體積平均值$\rho (x,t)$，在此積分位於整個有限體積的所有網格的流量$\rho (x,t_2)$，並$[x_{i-\frac{1}{2}},x_{i+\frac{1}{2}}]$並將計算结果除以$\mathrm{\Delta }{x}_i=x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}}$ ，即可得：

$(5){\overline{\rho }}_i\left(t_2\right)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}\underset{x_{i-\frac{1}{2}}}{\overset{x_{i+\frac{1}{2}}}{\int }}\{\rho (x,t_1)-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_x(x,t)dt\}dx.$

我們可以逆向積分的順序。同样，请记住，流量垂直於單元的表面。現在，因为一维$f_x\triangleq \mathrm{\nabla }\cdot f$ ，我们可以應用散度定理，即${\oint }_v\mathrm{\nabla }\cdot fdv={\oint }_{S}fdS$ ，并用的值代替散度的体积积分$f(x)$在網格單元表面計算（某單元與其他單元之前後交界面$x_{i-\frac{1}{2}}$和$x_{i+\frac{1}{2}}$ ）的有限體積如下：

$(6){\overline{\rho }}_i\left(t_2\right)={\overline{\rho }}_i\left(t_1\right)-\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}(\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_{i+\frac{1}{2}}dt-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{f}_{i-\frac{1}{2}}dt).$

當$f_{i\pm \frac{1}{2}}=f(x_{i\pm \frac{1}{2}},t)$ 。

因此，對于上述問題，我们可以得出一个半離散的數值格式，其單元中心的索引為$i$ ，且單元交界面通量的索引為$i\pm \frac{1}{2}$ ，通過對時間對式（6）進行微分，可得：

$(7)\frac{d{\overline{\rho }}_i}{dt}+\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}_i}[f_{i+\frac{1}{2}}-f_{i-\frac{1}{2}}]=0,$

通過某單元交界面通量的值$f_{i\pm \frac{1}{2}}$可以通过對單元平均值进行内插或外推来獲得。式（7）對於該有限體積的平均值是精确的，因為在推導過程中未進行任何近似。

該方法也可以應用於2D形況，只要同時考慮單元四周交界面，北面、南面、东面和西面即可。

一般守恆法則

我們還可以考慮以下PDE代表的一般守恒定律問題，

$(8)\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟\left(𝐮\right)=\mathrm{𝟎}.$

此處 $𝐮$代表狀態向量$𝐟$代表相应的通量張量。同样，我們可以將空間域细分為有限體積的網格單元。對於特定的網格單元$i$ ，將體積積分乘以單元的總體積 $v_i$ ， 如式（9）。

$(9)\underset{v_i}{\int }\frac{\partial 𝐮}{\partial t}dv+\underset{v_i}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐟\left(𝐮\right)dv=\mathrm{𝟎}.$

將第一項積分可得体积平均值，然后将散度定理應用於第二項，可得：

$(10)v_i\frac{d{\overline{𝐮}}_i}{dt}+{\oint }_{S_i}𝐟\left(𝐮\right)\cdot 𝐧dS=\mathrm{𝟎},$

此處$S_i$代表單元的總表面積， $𝐧$是垂直於表面並指向外的單位向量。最后，可得一般结果如式（11）。

$(11)\frac{d{\overline{𝐮}}_i}{dt}+\frac{1}{v_i}{\oint }_{S_i}𝐟\left(𝐮\right)\cdot 𝐧dS=\mathrm{𝟎}.$

同樣的，可以通過對單元平均值进行内插或外推来重建交界面通量的值。實際的數值將取决於問題的幾何形狀和軮格結構。

有限体积方案是守恆的，因為單元平均会通过交界面通量而變化。換句話說，某個單元所損失的物理量，必定會通過交界面而被另一單元所獲得！

相關文獻

• Eymard, R. Gallouët, T. R., Template:Link-en (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

外部連結

• Finite volume methods Template:Wayback by R. Eymard, T Gallouët and Template:Link-en, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Template:Cite journal, available under the GFDL.
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python Template:Wayback from NIST.
• CLAWPACK Template:Wayback: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach