有理簇

在數學中的代數幾何領域，域 $K$ 上的有理簇是一個雙有理等價於射影空間 ${\mathbb{P}}_K^n$（$n\in \mathbb{N}$）的代數簇。有理性僅依賴於其函數域，更明確地說，代數簇 $X$ 是有理簇若且唯若 $K(X)\simeq K(T_1,\dots ,T_n)(n\in \mathbb{N})$，其中 $T_1,\dots ,T_n$ 是獨立的變元。

古典結果

Lüroth 定理是關於有理簇的基本結論，它斷言：對於有理函數域 $K(T)$ 的子域 $L$，若次數 $[K(T):L]$ 有限，而 $K$ 代數閉，則 $L$ 也是個有理函數域。

翻譯成幾何語言，這相當於說：若對代數閉域 $K$ 上的代數曲線 $C$，存在滿態射 ${\mathbb{P}}^1\to C$（或稱分歧覆蓋），則 $C$ 是有理簇。

有理簇有一個有用的性質：若 $K$ 非有限域，$X$ 是 $K$-有理簇，則 $X(K)$ 在 $X(\overline{K})$ 中稠密。

單有理簇

能由有理簇覆蓋的代數簇稱為單有理簇，用域論的語言來說，即是有理函數域 $K(T_1,\dots ,T_n)$ 的子域 $L$，使得 $[K(T_1,\dots ,T_n):L]$ 有限。凡有理簇皆為單有理簇；在一維的情形，Lüroth 定理斷言單一維的有理簇皆是有理簇。

對於複代數曲面，同樣可由 Castelnuovo 定理導出單有理曲面皆為有理簇。但是在特徵 $p>0$ 時存在反例。在三維情形， Clemens 與 Griffiths 找出了反例。

例子

• 代數群理論中常出現相關的結構；例如約化群皆為單有理簇，約化群對拋物子群的商是有理簇。

文獻

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