最小方差無偏估計

Template:NoteTA 統計學上， 最小方差無偏估計（MVUE，minimum-variance unbiased estimator）是一個對於所有無偏估計中，擁有最小方差的無偏估計。若無論真實參數值θ是多少，最小方差無偏估計（MVUE）都比其他不偏估計有更小或至多相等的方差，則稱此估計為一致最小方差無偏估計（UMVUE，Uniformly Minimum-Variance Unbiased Estimator）。

若 $\delta (X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 為參數函數 $g(\theta )$ 的一個無偏估計，且對於參數函數 $g(\theta )$ 的任一無偏估計 $\tilde{\delta }$ 恆有下列關係　

$\mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Omega }$，$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(\delta (X_1,X_2,\dots ,X_n))\le \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(\tilde{\delta }(X_1,X_2,\dots ,X_n))$

則稱 $\delta (X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 為參數函數 $g(\theta )$ 的一致最小方差無偏估計（UMVUE）。

若參數函數 $g(\theta )$ 存在無偏估計，則可證明出一致最小方差無偏估計存在且唯一。

一般地，設 $\delta (X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 是參數函數 $g(\theta )$ 的無偏估計且統計量 $T$ 是分佈族的完備充分統計量，則

$\eta (X_1,X_2,\dots ,X_n)=\mathrm{E}(\delta (X_1,X_2,\dots ,X_n)|T)$

是參數函數 $g(\theta )$ 的一致最小方差無偏估計（UMVUE）。

參考資料

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