最佳投影方程

最佳投影方程（optimal projection equations）是控制理论中，建構局部最佳降階LQG控制器的充分必要条件。

LQG控制（線性二次高斯控制）問題是最优控制領域中最基礎的問題之一，這問題包括了存在不確定性的線性系統，受到加性高斯白噪声的影響，沒有完整的狀態資訊（無法量測到所有的狀態變數，也無法透過回授得知），對應二次的成本泛函。不過存在唯一解，而且可以建構線性動態回授的控制律，易於計算以及實現。而LQG控制器也是非線性系統中最佳擾動控制的基礎。

LQG控制器的架構會類似要控制的系統，兩者會有相同的維度。因此若系統本身就是高維度，要實現（全階）LQG控制器會很困難。降階LQG問題（固定階LQG問題）事先固定LQG控制器的階數，因此克服了這個困難。不過在全階LQG控制器中適用的分離原理，在降階LQG問題中已無法適用，因此這方面會更困難，而且其解也不唯一。不過可以找到數值分析的演算法來求解對應的最佳投影方程。

問題的數學表示以及其解

連續時間

降階的LQG控制問題幾乎和全階的LQG控制問題相同。令${\widehat{𝐱}}_r(t)$表示降階LQG控制器的狀態，唯一的差異是LQG控制器的狀態維度$n_r=dim({\widehat{𝐱}}_r(t))$是事先定義好的值，比受控系統的狀態維度$n=dim(𝐱(t))$要少。

降階LQG控制器可以表示為下式：

${\dot{\widehat{𝐱}}}_r(t)=A_r(t){\widehat{𝐱}}_r(t)+B_r(t)𝐮(t)+K_r(t)(𝐲(t)-C_r(t){\widehat{𝐱}}_r(t)),{\widehat{𝐱}}_r(0)={𝐱}_r(0),$

$𝐮(t)=-L_r(t){\widehat{𝐱}}_r(t).$

上述公式刻意寫的類似傳統全階LQG控制器的形式，降階的LQG控制問題也可以改寫為下式：

${\dot{\widehat{𝐱}}}_r(t)=F_r(t){\widehat{𝐱}}_r(t)+K_r(t)𝐲(t),{\widehat{𝐱}}_r(0)={𝐱}_r(0),$

$𝐮(t)=-L_r(t){\widehat{𝐱}}_r(t),$

其中

$F_r(t)=A_r(t)-B_r(t)L_r(t)-K_r(t)C_r(t).$

降階LQG控制器的矩陣$F_r(t),K_r(t),L_r(t)$和${𝐱}_r(0)$是由所謂的最佳投影方程（optimal projection equations、OPE）來決定。

$n$維的最佳投影方陣$\tau (t)$是OPE的核心。此矩陣的秩在所有狀態下幾乎都等於$n_r$。相關投影為斜投影（oblique projection）：${\tau }^2(t)=\tau (t)$。最佳投影方程包括四個矩陣微分方程。前二個是LQG控制器對應的矩陣Riccati微分方程的擴展。在方程式中${\tau }_{\perp }(t)$表示$I_n-\tau (t)$，而$I_n$為$n$維的單位矩陣

$\begin{array}{cc}\dot{P}(t)=& A(t)P(t)+P(t)A^{\prime }(t)-P(t)C^{\prime }(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)\\ & +{\tau }_{\perp }(t)P(t)C^{\prime }(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)\tau {\text{'}}_{\perp }(t),\\ P(0)=& E(𝐱(0){𝐱}^{\prime }(0)),\\ & -\dot{S}(t)=A^{\prime }(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\prime }(t)S(t)+Q(t)\\ & +\tau {\text{'}}_{\perp }(t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\prime }(t)S(t){\tau }_{\perp }(t),\end{array}$

$S(T)=F.$

若LQG的維度沒有減少，也就是$n=n_r$，則$\tau (t)=I_n,{\tau }_{\perp }(t)=0$，上述二個方程就是二個沒有耦合的矩陣Riccati微分方程，對應全階的LQG控制器。若$n_r<n$，則兩個方程會有斜投影項$\tau (t).$。這也是為何降階的LQG控制器無法分離的原因，斜投影$\tau (t)$是由另外二個矩陣微分方程所決定，其中也和秩的條件（rank conditions）有關。這四個矩陣微分方程組成了最佳投影方程。為了要列出另外二個矩陣微分方程，先定義以下二個矩陣：

${\mathrm{\Psi }}_1(t)=(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B^{\prime }(t)S(t))\hat{P}(t)+\hat{P}(t)(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B^{\prime }(t)S(t){)}^{\prime }$

$+P(t)C^{\prime }(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),$

${\mathrm{\Psi }}_2(t)=(A(t)-P(t)C^{\prime }(t)W^{-1}(t)C(t){)}^{\prime }\hat{S}(t)+\hat{S}(t)(A(t)-P(t)C^{\prime }(t)W^{-1}(t)C(t))$

$+S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\prime }(t)S(t).$

則最後二個矩陣微分方程如下：

$\dot{\hat{P}}(t)=1/2(\tau (t){\mathrm{\Psi }}_1(t)+{\mathrm{\Psi }}_1(t){\tau }^{\prime }(t)),\hat{P}(0)=E(𝐱(0))E(𝐱(0){)}^{\prime },\mathrm{rank}(\hat{P}(t))=n_r$ almost everywhere,

$-\dot{\hat{S}}(t)=1/2({\tau }^{\prime }(t){\mathrm{\Psi }}_2(t)+{\mathrm{\Psi }}_2(t)\tau (t)),\hat{S}(T)=0,\mathrm{rank}(\hat{S}(t))=n_r$ almost everywhere,

其中

$\tau (t)=\hat{P}(t)\hat{S}(t){(\hat{P}(t)\hat{S}(t))}^{*}.$

此處的 * 表示群廣義逆矩陣（group generalized inverse）或Template:Link-en，是唯一的，定義如下

$A^{*}=A(A^3{)}^{+}A.$

其中 + 是摩尔－彭若斯广义逆.

矩陣$P(t),S(t),\hat{P}(t),\hat{S}(t)$都需要是非負對稱矩陣。可以建構最佳投影方程的解，而此解可以決定降階LQG控制器矩陣$F_r(t),K_r(t),L_r(t)$和${𝐱}_r(0)$：

$F_r(t)=H(t)(A(t)-P(t)C^{\prime }(t)W^{-1}(t)C(t)-B(t)R^{-1}(t)B^{\prime }(t)S(t))G(t)+\dot{H}(t)G^{\prime }(t),$

$K_r(t)=H(t)P(t)C^{\prime }(t)W^{-1}(t),$

$L_r(t)=R^{-1}(t)B^{\prime }(t)S(t)G^{\prime }(t),$

${𝐱}_r(0)=H(0)E(𝐱(0)).$

上式中的矩陣$G(t),H(t)$是符合以下性質的矩陣：

$G^{\prime }(t)H(t)=\tau (t),G(t)H^{\prime }(t)=I_{n_r}$幾乎在所有狀態下。

可以由$\hat{P}(t)\hat{S}(t)$的投影分解中得到：

若降階LQG問題中的所有矩陣都是非時變的，且最終時間（horizon）$T$趨近無限大，則最佳降階LQG控制器和最佳投影方程也都會是非時變的。此情形下，最佳投影方程左側的微分項會為零。

離散時間

離散時間的情形類似連續時間的例子，要處理的是將$n$階傳統離散時間全階LQG問題轉換為事先已知固定階數的$n_r<n$階降階LQG控制器。為了要表示離散時間的OPE，先引入以下二個矩陣：

${\mathrm{\Psi }}_i^1=(A_i-B_i(B{\text{'}}_i{S}_{i+1}{B}_i+R_i{)}^{-1}B{\text{'}}_i{S}_{i+1}{A}_i)){\hat{P}}_i(A_i-B_i(B{\text{'}}_i{S}_{i+1}{B}_i+R_i{)}^{-1}B{\text{'}}_i{S}_{i+1}{A}_i))$

$+A_i{P}_{i}C{\text{'}}_i(C_i{P}_{i}C{\text{'}}_i+W_i{)}^{-1}{C}_i{P}_{i}A{\text{'}}_i$

${\mathrm{\Psi }}_{i+1}^2=(A_i-A_i{P}_{i}C{\text{'}}_i(C_i{P}_{i}C{\text{'}}_i+W_i{)}^{-1}{C}_i){\hat{S}}_{i+1}(A_i-A_i{P}_{i}C{\text{'}}_i(C_i{P}_{i}C{\text{'}}_i+W_i{)}^{-1}{C}_i)$

$+A{\text{'}}_i{S}_{i+1}{B}_i(B{\text{'}}_i{S}_{i+1}{B}_i+R_i{)}^{-1}B{\text{'}}_i{S}_{i+1}{A}_i$

則離散時間OPE為

$P_{i+1}=A_i(P_i-P_{i}C{\text{'}}_i{(C_i{P}_{i}C{\text{'}}_i+W_i)}^{-1}{C}_i{P}_i)A{\text{'}}_i+V_i+{\tau }_{\perp i+1}{\mathrm{\Psi }}_i^1\tau {\text{'}}_{\perp i+1},P_0=E\left({𝐱}_0{{𝐱}^{\prime }}_0\right)$.

$S_i=A{\text{'}}_i(S_{i+1}-S_{i+1}{B}_i{(B{\text{'}}_i{S}_{i+1}{B}_i+R_i)}^{-1}B{\text{'}}_i{S}_{i+1})A_i+Q_i+\tau {\text{'}}_{\perp i}{\mathrm{\Psi }}_{i+1}^2{\tau }_{\perp i},S_N=F$.

${\hat{P}}_{i+1}=1/2({\tau }_{i+1}{\mathrm{\Psi }}_i^1+{\mathrm{\Psi }}_i^1\tau {\text{'}}_{i+1}),{\hat{P}}_0=E(𝐱(0))E(𝐱(0){)}^{\prime },\mathrm{rank}({\hat{P}}_i)=n_r$ almost everywhere,

${\hat{S}}_i=1/2(\tau {\text{'}}_i{\mathrm{\Psi }}_{i+1}^2+{\mathrm{\Psi }}_{i+1}^2{\tau }_i),{\hat{S}}_N=0,\mathrm{rank}({\hat{S}}_i)=n_r$ almost everywhere.

斜投影（oblique projection）矩陣為

${\tau }_i={\hat{P}}_i{\hat{S}}_i{\left({\hat{P}}_i{\hat{S}}_i\right)}^{*}.$

非負對稱矩陣$P_i,S_i,{\hat{P}}_i,{\hat{S}}_i$是離散時間OPE的解，也決定了降階LQG控制器的矩陣$F_i^r,K_i^r,L_i^r$ and ${𝐱}_0^r$：

$F_i^r=H_{i+1}(A_i-P_{i}C{\text{'}}_i{(C_i{P}_{i}C{\text{'}}_i+W_i)}^{-1}{C}_i-B_i{(B{\text{'}}_i{S}_{i+1}{B}_i+R_i)}^{-1}B{\text{'}}_i{S}_{i+1})G{\text{'}}_i,$

$K_i^r=H_{i+1}{P}_{i}C{\text{'}}_i{(C_i{P}_{i}C{\text{'}}_i+W_i)}^{-1},$

$L_i^r={(B{\text{'}}_i{S}_{i+1}{B}_i+R_i)}^{-1}B{\text{'}}_i{S}_{i+1}G{\text{'}}_i,$

${𝐱}_0^r=H_{0}E({𝐱}_0).$

在上述的方程中，矩陣$G_i,H_i$是有以下性質的矩陣：

$G{\text{'}}_i{H}_i={\tau }_i,G_{i}H{\text{'}}_i=I_{n_r}$幾乎在所有狀態下。

這些矩陣可以從${\hat{P}}_i{\hat{S}}_i$的投影因式分解中求得。

如同在連續時間中的例子一樣，若問題中所有的矩陣都是非時變，且且最終時間（horizon）$T$趨近無限大，降階LQG控制器就會是非時變的。因此離散時間OPE會收斂到穩態解，決定非時變的降階LOG控制器。

離散時間OPE也可以應用在狀態維度，輸入維度或是輸出維度可變的離散時間系統（具有時變維度的離散時間系統）。若在數位控制器中的取樣是不同步的，就可能會出現這類的系統。