普法夫約束

動力學中的普法夫約束（Pfaffian constraint）是一種用以下形式描述系統的方式：

$\sum _{s=1}^n{A}_{rs}d{u}_s+A_{r}dt=0;r=1,\dots ,L$

其中$L$是系統限制方程的個數。

非完整系統不一定必须是普法夫形式，比如不等式约束。

完整约束一定可以表示為普法夫約束的形式。

推導

假設一個用以下Template:Le方程組描述的非完整系統

$f_r(u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n,t)=0;r=1,\dots ,L$

其中$\{u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n\}$是n個描述系統的廣義座標，而$L$是系統約束方程的數量，可以將每一個方程用連鎖律微分：

$\sum _{s=1}^n\frac{\partial f_r}{\partial u_s}d{u}_s+\frac{\partial f_r}{\partial t}dt=0;r=1,\dots ,L$

經過置換後可以得到下式：

$\sum _{s=1}^n{A}_{rs}d{u}_s+A_{r}dt=0;r=1,\dots ,L$

例子

單擺

單擺

考慮單擺，其重物的運動會受到擺長的約束，其重物的速度向量$\overrightarrow{V}$隨時都會和位置向量$\overrightarrow{L}$垂直。因為二個向量永遠正交，因此其点积恆為零。重物的位置和速度可以用以下$x$-$y$座標系統中的系統來定義：

$\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{V}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]=0$

簡化點積後可得：

$x\dot{x}+y\dot{y}=x\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+y\frac{\text{d}y}{\text{d}t}=0$

將等號兩邊同乘$\text{d}t$，結果就是約束方程的普法夫約束形式：

$x\text{d}x+y\text{d}y=0$

普法夫形式很好用，若非完整約束方程存在，可以將普法夫形式積分來求解系統的非完整約束方程。此例中的積分是很明顯的：

$\int x\text{d}x+\int y\text{d}y=0=x^2+y^2+C$

其中C是積分常數。

也可以寫成

$x^2+y^2=L^2$

$L^2$寫成平方項只因為其必定是正數。在實際系統中，座標一定都是實數。而$L$就是單擺的擺長。

機器人

机器人运动规划中的普法夫約束（Pfaffian constraint），是由k個線性無關約束的集合，而這些約束都對速度線性，也就是說

$A(q)\dot{q}=0$

輪式機器人（wheeled robot）中滾動不滑動的條件即為普法夫約束。