施拉姆-勒夫纳演进

在概率论中，施拉姆-勒夫纳演变（Schramm–Loewner evolution，SLE）是一个平面曲线的家族以及统计力学模型的缩放极限。

应用

• Uniform spanning tree, Template:Internal link helper/en
• 自避行走
• 普遍性 (物理学)
• 施拉姆-勒夫纳进化描述临界渗流，临界易辛模型，自避行走的缩放极限
• 统计力学模型
• 因为SLE有马尔可夫性质，所以可以用伊藤微积分来分析一下
• 共形场论

勒夫纳演变

• D 是单连通的开集。D是复杂域，但是不等于C。
• γ 是D中的一条曲线。γ 在D 的边界开始。
• $D_t=D-\gamma ([0,t])$
• 因为$D_t$是单连通的，它通过共形映射等于D（黎曼映射理论）。
• $f:D_t\to D$是同构。
• $g(f(z))=z$是反函數。
• 在t = 0，f₀(z) = z 和 g₀(z) = z。
• ζ(t)是驱动函数（driving function），接受D边界上的值。

根据Template:Harvard citation text，Template:Internal link helper/en是

$\frac{\partial f_t(z)}{\partial t}=-z{f}_t^{\prime }(z)\frac{\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}$

$\frac{\partial g_t(z)}{\partial t}=g_t(z)\frac{\zeta (t)+g_t(z)}{\zeta (t)-g_t(z)}.$

$\zeta ,\gamma$的关系是

$f_t(\zeta (t))=\gamma (t)\text{ 或 }\zeta (t)=g_t(\gamma (t))$

施拉姆-勒夫纳演变

SL演变是一个勒夫纳方程，有下面的驱动函数

$\zeta (t)=\sqrt{\kappa }B(t)$

其中 B(t) 是D边界上的布朗运动。

例如

• 若0 ≤ κ ≤ 4，曲线γ(t)几乎必然是简单曲线
• 若4 < κ < 8，γ(t) 与自身相交。
• 若 κ ≥ 8，γ(t)是space-filling的。
• 若κ = 2，曲线是Loop-erased random walk。
• κ = 8：皮亚诺曲线
• 若 κ = 8/3，有人猜想这个SLE描述自避行走。
• κ = 3：易辛模型边界的极限
• κ = 4：高斯自由场，Template:Harvard citation text,
• κ = 6：斯坦尼斯拉·斯米尔诺夫证明SLE₆ 是格子（正三角形鑲嵌）上的临界渗透的缩放极限，计算临界指数；证明渗流的共形不变性Template:Harvard citation text，Cardy方程
• κ = 8：path separating UST from dual tree

属性

若SLE描述共形场论，central charge c等于

$c=\frac{(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }.$

Template:Harvard citation text 表明了SLE的豪斯多夫维数是min(2, 1 + κ/8)。

Template:Harvard citation text 用SLE₆ 证明Template:Harvard citation text的猜想：平面布朗运动边界的分形维数是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲线的分形维数是

$d=1+\frac{\kappa }{8}.$

模拟

-{R|https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution}-Template:Wayback

阅读

• -{R|https://terrytao.wordpress.com/tag/schramm-loewner-evolution/}-Template:Wayback Template:Wayback（陶哲轩介绍SLE）
• -{R|http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns017/Lawler/Lawler.pdf}-Template:Wayback Template:Wayback（Conformally invariant process in plane, by Lawler）
• -{R|http://pi.math.cornell.edu/~cpss/2011/lawler-notes.pdf}-Template:Dead link（SCALING LIMITS AND THE SCHRAMM-LOEWNER EVOLUTION GREGORY F. LAWLER）

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• Template:Citation (Chapter 6 treats the classical theory of Loewner's equation)
• Template:Citation Schramm's original paper, introducing SLE
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