改進型韋格納分佈

Template:NoteTA 改進型韋格納分佈(modified Wigner distribution function)，用於時頻分析的一種方法，屬於信號處理的範疇。它改進了韋格納分佈原有的相交項(cross term)的問題。
韋格納分佈是西元1932年由尤金·維格納所提出用於古典力學，但是亦可用於時頻分析。韋格納分佈與短時距傅立葉變換都可用於時頻分析，雖然前者通常擁有較高的解析度且有良好的數學特性，但當有兩個以上的信號成分時，韋格納分佈就會出現相交項問題，這在應用上造成很大的困擾。
因此在西元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改進型韋格納分佈，以修正韋格納分佈中會出現的相交項問題。

原理

韋格納分佈的數學定義

$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau$$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(f+\eta /2)\cdot X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta$

改進型韋格納分佈的數學定義

為了改善韋格納分佈的相交項(cross-term)問題，改進型韋格納分佈在此引入了一個類似遮罩(mask)的函數，將相交項過濾掉。

• • 定義一：:$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

，其中w(t)為遮罩函數. 常為方波，其方波寬度為參數B。可寫成 $w(t)=\{\begin{array}{c}1if|t|<B\\ 0otherwise\end{array}$

• • 定義二：:$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}P(\theta )Y(t,f+\theta /2)Y^{*}(t,f-\theta /2)d\theta$
    ， 其中 $Y(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}w(\tau )x(t+\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau$； $P(\theta )$ 類似遮罩函數，

$P(\theta )\approx 1$， 當θ很小

$P(\theta )\approx 0$， 當θ很大

適當地選擇$P(\theta )\approx 1$的範圍。若選的範圍太小，將會破壞原本的項(auto term)。

• 定義三：$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}w(\tau )x^L(t+\frac{\tau }{2L})\cdot \overline{x^L(t-\frac{\tau }{2L})}{e}^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau$

增加 L 可以減少相交項(cross-term)的影響(但是不會完全消除)

• 定義四：$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\prod _{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

當 q = 2 和 $d_l=d_{-l}=0.5$，就是原本的韋格納分佈。

當指數函數的次項不超過 q/2 +1時，就可以避免相交項(cross-term)

然而，相交項(cross-term)會介於兩個訊號之間，無法完全被移除。

<說明>

定義四的維格納分布又稱為多項型維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function)

$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{j2\pi \sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^{n-1}\tau }{e}^{-j2\pi \tau f}d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau$

If $x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^n}$

所以 $d_{\ell }$ 必須要能滿足下面的式子：

$e^{j2\pi \sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^{n-1}\tau }=\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )$

$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1})n{a}_n{t}^{n-1}\tau }d\tau \cong \delta (f-\sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^{n-1}\tau )$

其中 $\sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}n{a}_n{t}^{n-1}$為 $x(t)$ 的瞬時頻率

接下來，我們來看 $d_{\ell }$ 要怎麼設定：

(1) 當 $q=2$ 的時候： $x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{2}n{a}_n{t}^{n-1}\tau }$

如果我們把 $x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}{a}_n{t}^n}$代入，可以得到下列式子：

$a_2(t+d_1\tau {)}^2+a_1(t+d_1\tau )-a_2(t-d_{-1}\tau )-a_1(t-d_{-1}\tau )=2a_{2}t\tau +a_1\tau$

$\{\begin{array}{c}{d}_1+d_{-1}=1\\ d_1-d_{-1}=0\end{array}$ $⟹\{\begin{array}{c}{d}_1=\frac{1}{2}\\ d_{-1}=\frac{1}{2}\end{array}$

由此可以知道，當 $q=2$ 並且 $d_{-1}=d_1=\frac{1}{2}$ 時，多項型的維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就會與原始的維格納分布相同

$W_x(t,f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\prod _{l=1}^{q/2}x(t+d_l\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}d\tau ,ifq=2,d_{-1}=d_1=\frac{1}{2}$

(2) 當 $q=4$ 的時候： $x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{3}n{a}_n{t}^{n-1}\tau }$

如果我們把 $x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{\frac{q}{2}+1}{a}_n{t}^n}$代入，可以得到下列式子：

$a_3(t+d_1\tau {)}^3+a_2(t+d_1\tau {)}^2+a_1(t+d_1\tau )a_3(t+d_2\tau {)}^3+a_2(t+d_2\tau {)}^2+a_1(t+d_2\tau )-a_3(t+d_{-1}\tau {)}^3-a_2(t+d_{-1}\tau {)}^2-a_1(t+d_{-1}\tau )-a_3(t+d_{-2}\tau {)}^3-a_2(t+d_{-2}\tau {)}^2-a_1(t+d_{-2}\tau )$

$=3a_3{t}^2\tau +2a_{2}t\tau +a_1\tau$

$\{\begin{array}{c}{a}_3(t+d_1\tau {)}^3+a_3(t+d_2\tau {)}^3-a_3(t+d_{-1}\tau {)}^3-a_3(t+d_{-2}\tau {)}^3\\ a_2(t+d_1\tau {)}^2+a_2(t+d_2\tau {)}^2-a_2(t+d_{-1}\tau {)}^2-a_2(t+d_{-2}\tau {)}^2\\ a_1(t+d_1\tau )+a_1(t+d_2\tau )-a_1(t+d_{-1}\tau )-a_1(t+d_{-2}\tau )\end{array}$$=\{\begin{array}{c}3a_3{t}^2\tau \\ 2a_{2}t\tau \\ a_1\tau \end{array}$

所以我們可以得到

$\{\begin{array}{c}{d}_1+d_2+d_{-1}+d_{-2}=1\\ {d_1}^2+{d_2}^2-{d_{-1}}^2-{d_{-2}}^2=0\\ {d_1}^3+{d_2}^3+{d_{-1}}^3+{d_{-2}}^3=0\end{array}$

可以看到如果 $q$ 太大，$d_{\ell }$ 會不好設計。

性能表現

在此有兩個例子來說明改進型韋格納分佈確實能消除相交項。

1. $x(t)=\{\begin{array}{c}\cos (3\pi t)t\le -4\\ \cos (6\pi t)-4<t\le 4\\ \cos (4\pi t)t>4\end{array}$

左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。可以很明顯地看出，改進型韋格納分佈大大地改進相交項的問題，相對地增加清晰度。

1. $x(t)=\exp (j\cdot (t-5{)}^3-j\cdot 6\pi \cdot t)$

左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。明顯地看出，改進型韋格納分佈確實可改進相交項的問題，同時增加清晰度。

同時參閱

• 信號處理
• 時頻分析
• 短時距傅立葉變換

參考資料

• Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
• L. J. Stankovic, S. Stankovic, and E. Fakultet, 「An analysis of instantaneous frequency representation using time frequency distributions-generalized Wigner distribution,」 IEEE Trans. on Signal Processing, pp. 549-552, vol. 43, no. 2, Feb. 1995
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017.
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.