拉马努金Θ函数

Template:Multiple issues 拉马努金theta函数是一个由英国数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金定义的双变量复变theta函数，推广了雅可比theta函数，被广泛地运用在q-函数和级数的理论中。

定义

拉马努金theta函数被定义为

$f(a,b)\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{k(k+1)/2}{b}^{k(k-1)/2};/|ab|<1$而其中$f(a,b)=f(b,a)$

对于所有的$\mathrm{\forall }a=-1$，拉马努金theta函数取到简单零点。 拉马努金theta函数也可以用q-珀赫哈默尔符号定义，如

$f(a,b)=(-a;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(-b;ab{)}_{\mathrm{\infty }}(ab;ab{)}_{\mathrm{\infty }}$

这说明与其他theta函数类似，拉马努金theta函数也与q-模拟存在紧密联系。它有一个积分表示， $f(a,b)=1+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2a\exp (-t^2/2)}{\sqrt{2\pi }}\left[\frac{1-a\sqrt{ab}\cosh \left(\sqrt{\ln (ab)}t\right)}{1+a^{3}b-2a\sqrt{ab}\cosh \left(\sqrt{\ln (ab)}t\right)}\right]dt+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2b\exp (-t^2/2)}{\sqrt{2\pi }}\left[\frac{1-b\sqrt{ab}\cosh \left(\sqrt{\ln (ab)}t\right)}{1+a{b}^3-2b\sqrt{ab}\cosh \left(\sqrt{\ln (ab)}t\right)}\right]dt$

与其他函数的联系

单变量的拉马努金theta函数被定义成

$f(-q)\equiv f(-q,-q^2)=(q,q{)}_{\mathrm{\infty }};/|q|<1$

此外，拉马努金phi函数，拉马努金psi函数和拉马努金chi函数也是拉马努金theta函数的特殊单变量情形。它们之间的关系可以被解释为：

$\phi (q)\equiv f(q,q)=\frac{(-q,-q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(+q,-q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

而它就是第三雅可比theta函数的特例$\phi (q)={\vartheta }_3(q)$，它的级数表达是OEIS中的数列A000122 Template:Wayback。

$\psi (q)\equiv f(q,q^3)=\frac{(q^2,q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q,q^2{)}_{\mathrm{\infty }}}$

它的级数表达是OEIS中的数列A010054 Template:Wayback。

$\chi (q)\equiv f(-q,q^2)$

它的级数表达是OEIS中的数列A000700 Template:Wayback。

應用

拉馬努金theta函數用於確定玻色弦理論、超弦理論和M理論中的Template:Le。

参考资料

• Template:Mathworld