拉西奥娃-西科尔斯基引理

在公理集合論中，拉西奧娃-西科爾斯基引理（Rasiowa–Sikorski lemma）是力迫使用的技巧中最基本的事實之一，該引理以Template:Link-en和Template:Link-en為名。

引理內容

在力迫的領域中，若說偏序集$(P,\le )$的子集$E$在$P$中稠密，就表示對於任意的$p\in P$而言，有$e\in E$使得$e\le p$；而若$D$是$P$的稠密子集的集族，那麼在滿足以下條件的狀況下，就稱$P$中的濾子$F$是$D$－Template:Link-en的：

$F\cap E\ne \mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }E\in D$

再有這些預備知識，就可以來描述拉西奧娃－西科爾斯基引理：

設$(P,\le )$是一個偏序集且$p\in P$，若$D$是$P$的稠密子集的可數集族，那就存在一個$P$中的$D$－Template:Link-en的濾子$F$，使得$p\in F$

證明

此引理證明如下：

由於$D$可數之故，因此可以將$P$的子集給編號為$D_1,D_2,D_3,...$等等，由假設可知，存在一個$p\in P$，然後由稠密性可知，存在一個$p_1\le p$且$p_1\in D_1$，如是反覆，可得$...\le p_2\le p_1\le p$，其中$p_i\in D_i$，因此$G=\{q\in p:\mathrm{\exists }i,q\ge p_i\}$是$D$－Template:Link-en的濾子。

可以認為拉西奧娃－西科爾斯基引理是馬丁公理較弱的版本，或說拉西奧娃-西科爾斯基引理等價於$\mathrm{MA}({\mathrm{\aleph }}_0)$。

例子

• 對於$(P,\le )=(func(X,Y),\supseteq )$，也就是從$X$到$Y$的、由包含關係定義的反向偏函数的偏序而言，若定義$D_x=\{s\in P:x\in dom(s)\}$，那在這種狀況下，若$X$可數，則拉西奧娃－西科爾斯基引理可得一個$\{D_x:x\in X\}$－一般的濾子$F$及一個函數$F:X\to Y$
• 假若我們使用處理$D$－一般的濾子的符號，那麼$\{H\cup G_0:P_{ij}{P}_t\}$可得一個$H$－Template:Link-en
• 若$D$不可數，但其基數嚴格小於$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$且其偏序集滿足可數鏈條件，那我們可使用馬丁公理。

參見

• Template:Link-en
• 馬丁公理

參考資料

• Template:Cite book
• Template:Cite book

外部連結

• Tim Chow's新聞群的文章Forcing for dummies Template:Wayback對力迫的概念與想法做出了很好的介紹，該文章介紹了主要的想法且跳過了技術性的細節。