抽样分布

Template:NoteTA 在统计学中，抽样分布是由随机抽样的样本统计量所形成的概率分布。总体的数值特征被称为母數，例如总体均值 $\mu$、总体标准差 $\sigma$ 和总体比例 $p$ 等。而对于样本而言，样本统计量可以看做是样本的函数，是一个随机变量。每一次抽样都会得到一个对应的样本均值 $\overline{x}$、样本误差 $s$ 和样本比例 $\overline{p}$ 等，作为对总体参数的估计值。而这些统计量所形成的概率分布即抽样分布。

样本均值

对于样本均值而言，其抽样分布具有如下性质：

$\overline{x}$

的期望等于该样本选取自的总体均值。

$$E(\overline{x})=\mu$$

将样本均值

$\overline{x}$

的标准差记为

${\sigma }_{\overline{x}}$

，样本容量记为

$n$

，总体容量记为

$N$

。

对于无限总体：

$${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$ 对于有限总体：

$${\sigma }_{\overline{x}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}(\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$$

这里 $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ 通常被称为有限总体修正系数。一般认为当样本容量小于总体容量的5%，即 $n/N\le 0.05$ 时，该系数可以忽略不计。

样本比例

对于样本比例而言，其抽样分布具有如下性质：

$\overline{p}$

的期望等于该样本选取自的总体比例。

$$E(\overline{p})=p$$

将样本比例

$\overline{p}$

的标准差记为

${\sigma }_{\overline{p}}$

，样本容量记为

$n$

，总体容量记为

$N$

。

对于无限总体：

$${\sigma }_{\overline{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$ 对于有限总体：

$${\sigma }_{\overline{p}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

同样，当 $n/N\le 0.05$ 时，该系数可以忽略不计。

参考文献

参考书籍

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