弗拉蒂尼引理

在有限群論，弗拉蒂尼引理指：

若有限群$G$有正規子群$H$，$H$有西羅子群$P$，則 $G=N_G(P)H$，其中 $N_G(P)$ 是 $P$ 的正規化子。

它以Giovanni Frattini命名。他以此引理證明一個與弗拉蒂尼子群有關的定理。

證明

因為 $H◃G,gP{g}^{-1}\le H\mathrm{\forall }g\in G$ 。因為$|g^{-1}Pg|=|P|$ ，所以可以根據西羅定理，在$H$內， $g^{-1}Pg$ 與 $P$ 共軛 ，故對於任意的$g\in G$，存在 $h\in H$ 使得 $P=h^{-1}(g^{-1}Pg)h=(gh{)}^{-1}P(gh)$ 。因此 $gh\in N_G(P),g\in N_G(P)h^{-1}\in N_G(P)H\mathrm{\forall }g\in G$ 。

應用

• 它應用於證明以下陳述：所有有限冪零群都是的西羅子群的直積。
• 若$P$是西羅子群、$G$是有限群， $N_G(N_G(P))=N_G(P)$ 。
• 更一般的結果：若$P$是西羅子群、$G$是有限群，且 $N_G(P)\le M\le G$ ，則 $M=N_G(M)$ 。