开尔文船波

船只尾波的鸟瞰图

从前方观测的船只尾波

尾波（Template:Lang-en）是固体在划过流体（特别是液体）表面时在尾部产生的V形传播的波，例如水鸟或船舶匀速游过水体时在水面激起的后方波纹。因为由英国的开尔文男爵——物理学家威廉·汤姆森（William Thomson，1824～1907）最先对船波进行数学研究，因此也称为开尔文船波（Template:Lang）。

数学原理

船形物体的尾波形状和福祿數$Fr$有密切关系。

$Fr=\frac{V}{\sqrt{gl}}$

其中g为重力常数，V是船速，l是船的长度。

令船的长度$l=k\cdot \frac{V^2}{g}$ 则$Fr=\frac{1}{\sqrt{k}}$.

对于长度大而速度低的轮船，Fr数小，开尔文船波主要是长波，其波前与速度矢量的夹角比较小。

而小快艇，长度小，速度高，Fr 数大，开尔文船波则以短波长的水波为主，而波前则与速度矢量成较大的夹角。

开尔文船波动研究，对于船舶的设计有重要意义，因为船舶的马力，有一部分消耗在激起船波。利用Fr数与速度成正比，与长度的平方根成反比的规律，可以利用小的模型，缩小船长$M^2$倍，同时缩小速度M倍，可以在实验室中模拟海上舟。

多鞍点函数积分

Integrand of Kelvin Wake Integral

Kelvin Ship Wake Integrand contour Maple plot

当船只以速度V驶过深水湖面，波形的幅度在相对于船只为静止的极坐标（$\rho ,\varphi$中在船只的速度矢量方向，$\varphi =0$），由下列公式表示

$K(\varphi ,\rho )=\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos \rho \frac{\cos (\theta +\varphi )}{{\cos }^2\theta }d\theta$

其中$\rho =gr/V^2$

$\frac{1}{\rho }=\frac{V^2}{gr}$是福祿數的平方$F{r}^2$

$g$为重力常数$l$为船的长度。

上列K函数是下列多鞍点积分的正数部分：

$K(\varphi ,\rho )=\mathrm{\Re }(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (i\rho f(\theta ,\rho )d\theta )$ 其中，多鞍点积分的核函数为

$f(\theta ,\varphi )=-\frac{\cos (\theta +\varphi )}{{\cos }^2\theta }$

此核函数是一个多鞍点函数，振荡剧烈如图

求其极点，

$\frac{df(\theta ,\varphi )}{d\theta }=\frac{\sin (\theta +\varphi )}{\cos (\theta {)}^2}-\frac{2\cos (\theta +\varphi )\sin (\theta )}{\cos (\theta {)}^3}=0$

解之，得

${\theta }_1=\arctan (\frac{(1/4)(1+\sqrt{(1-8\tan (\varphi {)}^2))}}{\tan (\varphi )})=-\arctan (\frac{(1/4)(-1+\sqrt{(}1-8\tan (\varphi {)}^2))}{\tan (\varphi )})$

由此

${\varphi }_1=19.47$度,

${\varphi }_2=-19.47$度

这就是凯尔文船波的V型波包线的夹角，最早由凯尔文男爵发现，而且角度与船速无关.至于波纹本身则与船速矢量的夹角为

$\theta =\pi -19.47=35.3$°

开尔文驻相法

Kelvin Wake (Maple density plot)

开尔文船波波形

开尔文船波积分$K(\varphi ,\rho )$必须通过数值积分计算。开尔文男爵根据被积分函数在积分区间内剧烈震荡的特点，提出了驻相法（Method of Stationary Phase）。

原理：当被积分函数剧烈震荡时，除了在极点外，震荡的被积分函数正负相抵消，因此可以将此被积分函数在极点的值作为整个积分的近似，驻相法乃是拉普拉斯方法的推广。

被积分函数 $f(\theta ,\varphi )=-\frac{cos(\theta +\varphi )}{co{s}^2\theta }$ 的两个极点是：

${\theta }_p=arctan(\frac{(1/4)*(1+\sqrt{(1-8*tan(\varphi {)}^2))}}{tan(\varphi )})$

${\theta }_m=-arctan(\frac{(1/4)*(-1+\sqrt{(}1-8*tan(\varphi {)}^2))}{tan(\varphi )})$

令

$f_m=f({\theta }_m,\varphi )=\frac{sin((1/2)*\varphi -(1/2)*arcsin(3*sin(\varphi )))}{sin((1/2)*\varphi +(1/2)*arcsin(3*sin(\varphi )))}$

$f_p=f({\theta }_p,\varphi )=\frac{cos((1/2)*\varphi +(1/2)*arcsin(3*sin(\varphi )))}{cos(-(1/2)*\varphi +(1/2)*arcsin(3*sin(\varphi )))}$

$fbar:=1/2*(f_p+f_m)$

$D2F=\frac{d^{2}F(\theta ,\varphi )}{d{\theta }^2}$

$D2F_p=D2F({\theta }_p,\varphi )$

$D2F_m=D2F({\theta }_m,\varphi )$

$\mathrm{\Delta }:=(3/4*(f_m-f_p){)}^{(}2/3)$

$u=\sqrt{\frac{{\mathrm{\Delta }}^{1/2}}{2}}*(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}+\frac{1}{\sqrt{-D2F_m}})$

$v=\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{\Delta }}^{1/2}}}*(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}-\frac{1}{\sqrt{-D2F_m}})$

$K(\varphi ,\rho )\approx 2*\pi *(u*cos(\rho *fbar)*AiryAi(-{\rho }^{(}2/3)*\mathrm{\Delta })/{\rho }^{(}1/3)+v*sin(\rho *fbar)*AiryAi(1,-{\rho }^{(}2/3)*\mathrm{\Delta })/{\rho }^{(}2/3))$

开尔文船波的波峰，由下列两个参数方程式描述

$x:=X*sin(\beta )*(1-(1/2)*sin(\beta {)}^2)$

$y:=X*sin(\beta {)}^2*cos(\beta )/(2*M)$

外部链接

• §36.13 Kelvin’s Ship-Wave Pattern Template:Wayback

参考文献

• Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, Cambridge University Press
• Jame Lighthill Waves in Fluids, Cambridge University Press 1979