廣義相對論中的數學

狹義相對論

在狹義相對論中，微積分、矩陣為其所用到的主要數學工具，配合閔可夫斯基時空的轉換以及勞倫茲不變量的使用，粗略地描述了時、空的性質。當s'座標系在s座標系沿x軸作等速v運動時，其轉換以以下方程表示：

$x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$y^{\prime }=y$

$z^{\prime }=z$

$t^{\prime }=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

其具有以下不變形式：

$c^2{t}^2-x^2-y^2-z^2=c^{2}t{\text{'}}^2-x{\text{'}}^2-y{\text{'}}^2-z{\text{'}}^2$

或者寫成微分形式

$c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2=c^{2}dt{\text{'}}^2-dx{\text{'}}^2-dy{\text{'}}^2-dz{\text{'}}^2$

在適當地選取座標系可使$c=1$

對於牛頓力學中的動量、能量作了以下的修正：

$𝐩=m𝐯$

$E=m{c}^2$

其中

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，:$m_0$為物質在靜止下的質量

能量和動量有以下關係：

$E^2={\left(pc\right)}^2+{\left(m_0{c}^2\right)}^2$

廣義相對論

狹義相對論僅限於等速、時空可近似平坦地情況下，然而在討論大尺度且有引力場的情況下，就必須使用廣義相對論。

愛因斯坦認為，慣性坐標系並沒有優於其他坐標系，一切的物理定律應在任何參考座標系下皆成立，所有的變換應都是協變的。因此，在其論文中，大量地使用稱之為張量(Tensor)的數學工具，其方程往往是非線性的，因此很難求解。

數學形式

一小段弧長ds平方的不變式

$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$

$g_{\mu \nu }$為度規張量

$d{x}^{\mu }$和$d{x}^{\nu }$為逆變張量

質點沿測地線運動，測地線方程可以用哈密頓原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推導，以下為測地線方程：

$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{s}^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\mu }\frac{d{x}^{\nu }}{ds}\frac{d{x}^{\sigma }}{ds}=0$

${\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\mu }$為克里斯多福符號

在非歐式空間中，描述空間曲率的張量為黎曼－克里斯多福張量

$R_{\nu \rho \sigma }^{\beta }=\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\beta }}{\partial x^{\rho }}-\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \rho }^{\beta }}{\partial x^{\sigma }}+{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \rho }^{\beta }-{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \rho }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \sigma }^{\beta }$

外部連結

• 史丹佛大學廣義相對論的課程 Template:Wayback