庫拉托夫斯基閉包公理

Template:Unreferenced 庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓扑結構，它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。

定义

拓樸空間 $(X,\mathrm{cl})$ 是集合 $X$ 及作用在 $X$ 的冪集上的閉包算子

$\mathrm{cl}:𝒫(X)\to 𝒫(X)$。

閉包算子需符合以下條件：

1. $A\subseteq \mathrm{cl}(A)$
2. $\mathrm{cl}(\mathrm{cl}(A))=\mathrm{cl}(A)$ (等冪性)
3. $\mathrm{cl}(A\cup B)=\mathrm{cl}(A)\cup \mathrm{cl}(B)$
4. $\mathrm{cl}(\varnothing )=\varnothing$

如果不要求第二个公理即幂等公理，则剩下的公理定义了预闭包算子。

等價的證明

從由閉包算子定義的拓撲空間開始。A 稱為在$(X,\mathrm{cl})$ 是閉合的，若$A=\mathrm{cl}(A)$。亦即，X 的閉集是閉包算子的不動點。

若稱「開集」為其補集為閉集的集合，則所有開集會形成一個拓撲，證明如下：

1. 由公理4.可知$\varnothing$為閉集；由公理1.及閉包算子的閉合性可知X 為閉集。因此，X 及$\varnothing$（分別為$\varnothing$及X 的補集）為開集。
2. 令X 的子集$A_i,i\in \mathrm{\Lambda }$（其中$\mathrm{\Lambda }$為任意集合）皆為開集，由公理1.及閉集的定義可知$\bigcup _{i\in \mathrm{\Lambda }}{A}_i$為開集。
3. 令X 的子集A 及B 為開集，由公理3.可知$A\cap B$為開集。

相反地，由開集定義的拓撲也可推導至由閉包算子定義的拓撲空間。令外，也可得出下列等價的定義：

兩個拓撲空間之間的函數

$f:(X,\mathrm{cl})\to (X^{\prime },{\mathrm{cl}}^{\prime })$

稱為連續的，若對所有X 的子集A'，

$f(\mathrm{cl}(A))\subset {\mathrm{cl}}^{\prime }(f(A))$

一個點稱之為在$(X,\mathrm{cl})$內是接近A 的，若$p\in \mathrm{cl}(A)$。