平衡点 (数学)

Template:Unreferenced 在数学中，平衡点（equilibrium point）是相对微分方程或差分方程的概念，多指微分方程的常数解（constant solution）。

定义

对于微分方程

$\frac{d𝐱}{dt}=𝐟(t,𝐱),𝐱\in {ℝ}^n$

若$𝐟(t,\widetilde{𝐱})=0$对任意$t$都成立，则称$\widetilde{𝐱}$为此微分方程的平衡点。

类似地，对于差分方程

${𝐱}_{k+1}=𝐟(k,{𝐱}_k),𝐱\in {ℝ}^n$

若$𝐟(k,\widetilde{𝐱})=\widetilde{𝐱}$对$k=0,1,2,\dots$都成立，则称$\widetilde{𝐱}$为此差分方程的平衡点。

分类

微分方程可以被线性化为以下形式

$\frac{d𝐱}{dt}=𝐀𝐱$

其中$𝐀$是$𝐟(t,𝐱)$在平衡点$\widetilde{𝐱}$处的雅可比矩阵。通过观察矩阵$𝐀$的特征值的符号，可以判断平衡点$\widetilde{𝐱}$的稳定性。

若$𝐀$的所有的特征值的实部均不为0，则$\widetilde{𝐱}$被称为双曲平衡点。若所有特征值的实部均为负值，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的实部为正值，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的实部为正，且至少有一个特征值的实部为负，则此平衡点是鞍点。

关于差分方程的平衡点也可作相似的分类。设$𝐆$是$𝐟(k,{𝐱}_k)$在平衡点$\widetilde{𝐱}$处的雅可比矩阵。

若$𝐀$的所有的特征值的模均不为1，则$\widetilde{𝐱}$被称为双曲平衡点。若所有特征值的模均为小于1，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的模大于1，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的模大于1，且至少有一个特征值的模小于1，则此平衡点是鞍点。