平滑濾波器

Template:Refimprove 平滑濾波器（Template:Lang-en）是增加低頻的空間域濾波技術。空間域濾波技術即不經由傅立葉轉換，直接處理影像中的像素，主要用於模糊化和去除雜訊。平滑濾波器的輸出是濾波器遮罩的鄰域所含像素的平均，遮罩越大平滑的效果越好，然而若遮罩過大平滑效果會使邊緣的信息失真越嚴重，使输出的圖像過度模糊，因此需合理選擇遮罩的大小。

實現

簡易型平滑濾波器

最簡易型的平滑濾波器可表示為下式

$y[n]=\frac{1}{2L+1}\sum _{\tau =n-L}^{n+L}x[\tau ]$

可改寫為

$y[n]=x[n]*h[n]$

h[n]如下圖所示

簡易型平滑濾波器的脈衝響應h[n]

$y[n]=\sum _{\tau }x[n-\tau ]h[\tau ]=\sum _{\tau =-L}^{L}x[n-\tau ]\frac{1}{2L+1}=\frac{1}{2L+1}\sum _{\tau =-L}^{L}x[n-\tau ]$

$y[n]=\frac{1}{2L+1}\sum _{\tau =n-L}^{n+L}x[\tau ]$

$y[n-1]=\frac{1}{2L+1}\sum _{\tau =n-1-L}^{n-1+L}x[\tau ]$

則可以把y[n]改寫為遞迴形式

$y[n]=y[n-1]+\frac{1}{2L+1}(x[n+L]-x[n-1-L])$

一般型態平滑濾波器

一般型態平滑濾波器可表示成下列式子

$y[n]=x[n]*h[n]=\sum _{\tau =n-L}x[n-\tau ]h[\tau ]$

而h[n]需符合下列條件

$\{\begin{array}{c}1.h[n]=h[-n]\\ 2.|h[n_1]|\le |h[n_2]|& |n_1|>|n_2|\end{array}$

任何隨著｜n｜遞減的偶函數都可以當成平滑濾波器

一般型平滑濾波器的脈衝響應範例h[n]

應用

平滑濾波器多用來模糊化、去除雜訊，找出信號長期趨勢。

下列為平滑濾波器簡單的範例

% matlab code %

 y =[0:0.1:5]';                       %產生信號
 y = y+ 0.15.*randn(length(y), 1);    %信號加上雜訊
 y2 = smooth(y');                     %使用平滑濾波器去信號雜訊

 subplot(2,1,1),plot(b,y);
 title('x[n]');
 subplot(2,1,2),plot(b,y2); 
 title('x[n] after smoother');

模擬結果

一般型平滑濾波器的脈衝響應範例h[n]

參考書目、資料來源

1. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.