平均自由程

Template:NoteTA 气体分子的平均自由程（Template:Lang-en）指气体分子两次碰撞之间经过的路程的统计平均值，一般用$\bar{\lambda }$表示。例如，在20℃下、标准大气压（101 KPa）下，氮气分子的平均自由程约为60纳米。

理想气体分子运动示意图

理想气体分子两次碰撞之间做匀速直线运动，类似分子的平均碰撞频率，每两次碰撞之间的路程是由气体分子的自身状态决定的。气体分子的平均自由程与分子的直径或半径、分子数密度成反比。

历史

鲁道夫·克劳修斯早在1857年就引入了平均自由程的概念。后来詹姆斯·麦克斯韦在1859年推导出麦克斯韦速度分布律后，推导出了气体分子平均自由程的更为准确的计算公式。

推导

分子碰撞截面

分子之间发生碰撞，但大多数情况并非发生对心碰撞。两个碰撞的分子根据两者发生碰撞瞬间“对心”的情况，所产生的方向偏离不同。当入射分子的方向和目标分子的质心的垂直距离大于某一确定值时，就不再发生速度偏离。这时的“某一确定值”称为分子有效直径$d$。定义分子碰撞截面$\sigma$，即在这个圆形截面之外的范围射入的分子都不会发生速度方向偏离。关于这个截面，有以下方程：

$\sigma =\pi d^2$

气体分子间的平均碰撞率

单位时间内气体分子发生的碰撞次数称为平均碰撞频率，一般用$\bar{Z}$表示，实验结果表示，有以下方程：

$\bar{Z}=n\sigma v_{rel}$

其中，$n$是气体分子的分子数密度，$v_{rel}$是碰撞的相对速率。

由於入射分子和目标分子都在移动，不能够只考虑入射分子的移动速率，必需考虑入射分子对於目标分子的相对速率。如果是同种气体分子，则平均相对速率为

$v_{rel}=\sqrt{2}\bar{v}$；

其中，$\bar{v}$是气体分子平均速率。

气体分子的平均自由程的推导

设分子平均速率为$\bar{v}$，则它在$t$时间内走过的平均路程为$\bar{v}t$；另外，在这段时间内分子发生的平均碰撞次数为$\bar{Z}t$，故由：

$\bar{\lambda }=\frac{\bar{v}t}{\bar{Z}t}$

当为同种气体分子时，得到

$\bar{\lambda }=\frac{1}{\sqrt{2}n\sigma }$

应用理想气体定律，可以得到

$\bar{\lambda }=\frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\sigma p}$

其中，$k_B$是玻尔兹曼常量，$T$是温度，$p$是压强。

自由程的分布

平均自由程分布示意图

自由程从$x$到无穷大的分子占分子总数的比例为：

$\frac{N}{N_0}=exp(-\frac{x}{\bar{\lambda }})$

自由程在$x$与$x+dx$范围内的分子占分子总数的比例为：

$-\frac{dN}{N_0}=\frac{1}{\bar{\lambda }}exp(-\frac{x}{\bar{\lambda }})dx$

以上两式中，$N_0$是碰撞分子总数，$\bar{\lambda }$是平均自由程。

相关条目

• 热学
• 麦克斯韦速度分布律
• 分子運動論

延伸阅读

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