帕普斯定理

帕普斯定理

设U，V，W，X，Y和Z为平面上6条直线。如果：
（1）U与V的交点，X与W的交点，Y与Z的交点共线，且
（2）U与Z的交点，X与V的交点，Y与W的交点共线，
则一定有（3）U与W的交点，X与Z的交点，Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理（Template:Lang-en）。

也就是说，
如果

$⟨U\times V,X\times W,Y\times Z⟩=0$

且

$⟨U\times Z,X\times V,Y\times W⟩=0$

则

$⟨U\times W,X\times Z,Y\times V⟩=0.$

這個定理是帕斯卡定理的一個特例，當這個圓錐曲線退化成兩條直線的時候。

证明

设

$\alpha =⟨U\times V,X\times W,Y\times Z⟩$

$\beta =⟨U\times Z,X\times V,Y\times W⟩$

$\gamma =⟨U\times W,X\times Z,Y\times V⟩$

我们需要证明如果$\alpha$ = 0且$\beta$ = 0，则$\gamma$ = 0。

第一步

利用恒等式

$⟨A,B,C⟩=⟨C,A,B⟩=⟨B,C,A⟩$

可将$\alpha$、$\beta$及$\gamma$表述为以下形式：

$\alpha =⟨U\times V,X\times W,Y\times Z⟩$

$\beta =⟨Y\times W,U\times Z,X\times V⟩$

$\gamma =⟨X\times Z,Y\times V,U\times W⟩$

第二步

利用恒等式

$⟨A,B,C⟩=A\cdot (B\times C)$

$A\times (B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C$

可得

$\alpha =(U\times V)\cdot ((X\times W)\times (Y\times Z))$

$\beta =(Y\times W)\cdot ((U\times Z)\times (X\times V))$

$\gamma =(X\times Z)\cdot ((Y\times V)\times (U\times W))$

以及

$\alpha =(U\times V)\cdot (⟨X,W,Z⟩Y-⟨X,W,Y⟩Z)$

$\beta =(Y\times W)\cdot (⟨U,Z,V⟩X-⟨U,Z,X⟩V)$

$\gamma =(X\times Z)\cdot (⟨Y,V,W⟩U-⟨Y,V,U⟩W)$

第三步

利用数量积的分配律，可得：

$\alpha =⟨X,W,Z⟩⟨U,V,Y⟩-⟨X,W,Y⟩⟨U,V,Z⟩$

$\beta =⟨U,Z,V⟩⟨Y,W,X⟩-⟨U,Z,X⟩⟨Y,W,V⟩$

$\gamma =⟨Y,V,W⟩⟨X,Z,U⟩-⟨Y,V,U⟩⟨X,Z,W⟩$

第四步

利用恒等式

$⟨A,B,C⟩=⟨C,A,B⟩=⟨B,C,A⟩$

$⟨A,B,C⟩=-⟨A,C,B⟩=-⟨C,B,A⟩=-⟨B,A,C⟩$

可得：

$\alpha =⟨X,W,Z⟩⟨U,V,Y⟩-⟨X,W,Y⟩⟨U,V,Z⟩$

$\beta =-⟨U,Z,X⟩⟨Y,W,V⟩+⟨X,W,Y⟩⟨U,V,Z⟩$

$\gamma =⟨U,Z,X⟩⟨Y,W,V⟩-⟨X,W,Z⟩⟨U,V,Y⟩$

第五步

把这些等式相加，得：

$\alpha +\beta +\gamma =0$

$\gamma =-(\alpha +\beta )$

因此，如果$\alpha$ = 0且$\beta$ = 0，则$\gamma$ = 0。

证毕。

参见

• 布列安桑定理
• 帕斯卡定理
• 笛沙格定理