布豐投針問題

布豐投針問題（Template:Lang-fr，又译“蒲丰投針問題”），是法國學者布丰於18世紀提出的一個数学問題：

使用積分幾何能找到此題的解。用該方法可設計一個求π的蒙地卡羅方法，不過這並非布豐的本意。

解法

設針的長度是$\ell$，平行線之間的距離為$t$，$x$為針的中心和最近的平行線的距離，$\theta$為針和線之間的銳角。

$x\in [0,t/2]$且均匀分布，其機率密度函數為$\frac{2}{t}$。

$\theta \in [0,\pi /2]$且均匀分布，其機率密度函數為$\frac{2}{\pi }$。

$x,\theta$兩個隨機變數互相獨立，因此兩者結合的機率密度函數只是兩者的積：

$\frac{4}{t\pi }(x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])$

當$x\le \frac{\ell }{2}\sin \theta$，針和線相交，然後對$x,\theta$積分得出所求機率。

要求上式的積分需要分為兩種情況：“短針”$(\ell \le t)$以及“長針”$(\ell >t)$；以下考慮“短針”情況，計算上式積分得針與線相交的機率：

$P=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\underset{0}{\overset{(\ell /2)\sin \theta }{\int }}\frac{4}{t\pi }dxd\theta =\frac{2\ell }{t\pi }$

作簡單變換可得$\pi =\frac{2\ell }{tP}$,

當拋$n$支針，其中有$h$支針與線相交，利用多次重複試驗所觀察事件發生的頻率越來越接近機率的理論值$P\approx \frac{h}{n}$。

近似可得$\pi \approx \frac{2\ell n}{th}$

拉扎里尼的估計

1901年，意大利數學家马里奥·拉扎里尼（Mario Lazzarini）嘗試進行此實驗。他拋了3408次針，得到π的近似值為355/113。

拉扎里尼選取了一支長度是紋的距離的5/6的針。在這個情況，針和紋相交的機會是5/(3π)。如果想拋n次針而得到x次相交，π約等於$5/3\times n/x$。分母、分子少於五位數字，沒有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式$355/113=5/3\times n/x$，得$x=113n/213$。

為求x的值接近這個數，可以重覆拋213次針，若有113次是成功的，便可終止實驗，宣布這個方法求π值準確度不低；否則，就再拋213次針，希望共有226次成功……這次反覆進行實驗。拉扎里尼做了$3408=213\times 16$次。

參見

• 伯特蘭悖論
• 蒙地卡羅方法

外部連結

• Buffon's Needle Problem Template:Wayback at cut-the-knot
• Math Surprises: Buffon's Noodle Template:Wayback at cut-the-knot
• MSTE: Buffon's Needle Template:Wayback
• Buffon's Needle Java Applet Template:Wayback
• Estimating PI Visualization (Flash) Template:Wayback
• Buffon's needle: fun and fundamentals (presentation) Template:Wayback at slideshare
• Animations for the Simulation of Buffon's Needle Template:Wayback by Yihui Xie using the R package animation
• 3D Physical Animation Template:Wayback by Jeffrey Ventrella
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