布朗桥

2个相互独立的标准布朗桥

标准布朗桥（英語：Brownian bridge）是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程， 在0和1处取值为0.

注意不要和布朗运动混淆。

布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。

非标准的 布朗桥 只是在条件 $[B_{t_1}=a,B_{t_2}=b]$下一般化的布朗桥。

定义

标准的布朗桥 $(B_t,t\ge 0)$为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件$B_0=B_1=0$下的维纳过程 （Wiener Process）。

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 $(B_{t_1},...,B_{t_n})$在条件 $B_1=0$下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画：

$\mathrm{\forall }0\le t\le 1,𝔼[B_t|B_1=0]=0,$

$\mathrm{\forall }0\le s<t\le 1,cov(B_s,B_t|B_1=0)=s(1-t).$

定义的备注

事件$[B_1=0]$ 的概率为0。 考虑满足

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathbb{P}[|B_1|<\epsilon ]>0.$

的事件 $[|B_1|<\epsilon ]$， 我们可以考察条件分布 $\mathbb{P}[\cdot ||B_1|<\epsilon ]$。 由依分布收敛 可得：

$\mathbb{P}[\cdot ||B_1|<\epsilon ]\underset{\epsilon \to 0}{⟶}\mathbb{P}[\cdot ||B_1|=0]$

这给出了布朗桥的一个严格定义。

和其他随机过程的关系

和布朗运动的关系

性质1

设$(W_t,t\ge 0)$ 为一个 维纳过程 (或者 布朗运动), 那么过程 $(B_t,0\le t\le 1)$ :

$B_t=W_t-t{W}_1$

为一个标准的布朗桥。

相互定义

设 $(B_t,0\le t\le 1)$ 为一个标准的布朗桥， Z 是一个正态随机变量，则过程 $(W_t^1,t\ge 0)$ et $(W_t^2,t\ge 0)$ :

$W_t^1=B_t+tZ$    et    $W_t^2=B_{\frac{t}{T}}+\frac{t}{T}Z$

为 $t\in [0,1]$ 和 $t\in [0,T]$ 上的维纳过程。

性质 2

设 $(W_t,t\ge 0)$ 为一个 维纳过程, 则过程 $(B_t,0\le t\le 1)$ ：

$B_t=(1-t)W_{\frac{t}{1-t}}$

为一个标准布朗桥。

相互定义

设 $(B_t,0\le t\le 1)$ 为一个标准的布朗桥, 那么过程 $(W_t,t\ge 0)$：

$W_t=(1+t)B_{\frac{t}{1+t}}$

为一个维纳过程。

扩散形式下的表达

也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上， 如果 $W$ 是一种标准的布朗桥，随机方程

$d{X}_t=d{W}_t-\frac{X_t}{1-t}dt$

初始条件$X_0=0$的解和布朗桥同分布。

事实上, $X$是一个 马氏过程，这个从布朗桥的定义中不容易看出。

性质

设$(B_t,0\le t\le 1)$ 为标准的布朗桥。

性质3

设 b 为一个实数，

$\mathbb{P}[\text{ there is a }t\in [0,1]\text{ s.t. }{B}_t=b]=e^{-2b^2}.$

性质4

设 b 为一个正实数

$\mathbb{P}[\underset{t\in [0,1]}{\sup }|B_t|\ge b]=2\sum _{n\ge 1}(-1{)}^{n-1}{e}^{-2n^2{b}^2}.$

性质 5

设a et b 为2个正实数.

$\mathbb{P}[-a<B_t<b,\mathrm{\forall }0\le t\le 1]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[e^{-2m^2(a+b{)}^2}-e^{-2((m+1)a+mb{)}^2}].$

性质6

设 x 为一个正实数

$\mathbb{P}[\underset{t\in [0,1]}{\sup }{B}_t-\underset{t\in [0,1]}{\inf }{B}_t\ge x]=2\sum _{m\ge 1}(4m^2{x}^2-1)e^{-2m^2{x}^2}.$

相关條目

• 布朗运动
• 维纳过程

参考文献

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