山邊問題

山邊（Yamabe）問題是微分幾何的問題，得名自山邊英彥。雖然山邊英彥在1960年初宣稱得到解答，他的證明中一個關鍵錯誤在1968年被尼爾·特魯丁格發現，而山邊英彥已在1960年底逝世。後來陸續由尼爾·特魯丁格、蒂埃里·奧班、理查德·舍恩研究，山邊問題在1984年得到完全解決。

問題

給出維數$n\ge 3$的光滑緊緻流形$M$及黎曼度量$g$，是否必然存在共形於$g$的度量$g^{\prime }$，使得$g^{\prime }$的數量曲率為常數？換言之，$M$上是否存在光滑函數$f$，使得 $g^{\prime }=e^{2f}g$有常數量曲率？

現已知道確有如此度量，證明使用了微分幾何、偏微分方程、泛函分析的技巧。

非緊緻情形

推廣到非緊緻流形上的山邊問題是：在非緊緻的光滑完備黎曼流形$(M,g)$，是否必然存在共形度量$g^{\prime }$，使數量曲率為常數，且流形仍為完備？這問題的答案為否，Jin Zhiren發現其反例。

參考

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