對數平均

三維圖表顯示對數平均的值

對數平均是一個二個非負數字的數學函數，等於兩者的差除以其對數的差。其符號為：

$\begin{array}{cc}{M}_{\text{lm}}(x,y)& =\underset{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\lim }\frac{\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi },\\ & =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x=0\text{ or }y=0,\\ x& \text{if }x=y,\\ \frac{y-x}{\ln y-\ln x}& \text{otherwise,}\end{array}\end{array}$

其中$x,y$都是正整數。

對數平均的計算適用在有關熱傳及質傳的工程問題上。

不等式

二個數字的對數平均小於其算術平均，大於幾何平均，若二個數字相等，對數平均會等於算數平均及幾何平均。

$\sqrt{x\cdot y}\le M_{\text{lm}}(x,y)\le \frac{x+y}{2}\text{ for all }x\ge 0\text{ and }y\ge 0.$

平均的推導

微分的均值定理

根據均值定理

$\mathrm{\exists }\xi \in [x,y]:f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$

若將$f$改為$\ln$，對數平均可以由 $\xi$來求得

$\frac{1}{\xi }=\frac{\ln x-\ln y}{x-y}$

求解$\xi$。

$\xi =\frac{x-y}{\ln x-\ln y}$

積分

對數平均也可以表示為指數函數以下的面積。

$L(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{1-t}{y}^t\mathrm{d}t$

$\begin{array}{ccc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{1-t}{y}^t\mathrm{d}t& =& \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{y}{x}\right)}^{t}x\mathrm{d}t\\ & =& x\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{y}{x}\right)}^t\mathrm{d}t\\ & =& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}}{\left(\frac{y}{x}\right)}^t{|}_{t=0}^1\\ & =& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}}(\frac{y}{x}-1)\\ & =& \frac{y-x}{\ln y-\ln x}\end{array}$

面積的表示法可以推導一個有關對數平均的基本性質。 因為指數函數為單調函數，長度為1區間的的積分會在$x$和$y$之間。積分算子的齐次性轉移到平均算子，因此$L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)$.

推廣

微分的均值定理

對數平均可推廣到$n+1$變數，考慮對數n階導數的Template:Le。 可以得到:$L_{\mathrm{M}\mathrm{V}}(x_0,\dots ,x_n)=\sqrt[-n]{(-1{)}^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln [x_0,\dots ,x_n]}$ 其中$\ln [x_0,\dots ,x_n]$為對數的均差。

若$n=2$，會變成

$L_{\mathrm{M}\mathrm{V}}(x,y,z)=\sqrt{\frac{(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}$.

積分

積分的表示法也可以推廣到多變數，但結果不同。 假設单纯形 $S$ 其中$S=\{({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_n):{\alpha }_0+\dots +{\alpha }_n=1\wedge {\alpha }_0\ge 0\wedge \dots \wedge {\alpha }_n\ge 0\}$及適當的量度$\mathrm{d}\alpha$可以使单纯形得到1的體積，可得

$L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots ,x_n)=\underset{S}{\int }{x}_0^{{\alpha }_0}\cdot \dots \cdot x_n^{{\alpha }_n}\mathrm{d}\alpha$

利用指數函數的均差可以簡化如下

$L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots ,x_n)=n!\cdot \exp [\ln x_0,\dots ,\ln x_n]$.

例如$n=2$

$L_{\mathrm{I}}(x,y,z)=-2\cdot \frac{x\cdot (\ln y-\ln z)+y\cdot (\ln z-\ln x)+z\cdot (\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot (\ln y-\ln z)\cdot (\ln z-\ln x)}$.

和其他平均的關係

• $\frac{L(x^2,y^2)}{L(x,y)}=\frac{x+y}{2}$（算術平均）

相關條目

• 幾何平均也和對數有關
• 對數平均是一種特別的Template:Le。
• 對數平均溫差

參考資料

• Logarithmic mean @ Everything2.com Template:Wayback
• Oilfield Glossary: Term 'logarithmic mean'
• Template:Mathworld
• Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92