對勾函数

Template:Unr 在数学中，对勾函数，又名双勾函数、耐克函数、对号函数，表示形为$f(x)=ax+\frac{b}{x}$的函数，其中$ab\ge 0$。函数定义域为$(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$，值域为$(-\mathrm{\infty },-2\sqrt{ab}]\cup [2\sqrt{ab},\mathrm{\infty })$。其图像是分别以$y$轴和$y=ax$为渐近线的两支双曲线。当$a\ge 0,b\ge 0$时，其图像在第一象限形状就是个像耐克的品牌徽标一样，因此得名耐克函数。

图像

以下是對勾函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$的图像

函数单调性

• a、b同正，在$(-\mathrm{\infty },-\sqrt{\frac{b}{a}}]$单调递增，在$[-\sqrt{\frac{b}{a}},0)$单调递减，在$(0,\sqrt{\frac{b}{a}}]$单调递减，在$[\sqrt{\frac{b}{a}},+\mathrm{\infty })$单调递增。
• a、b同负，在$(-\mathrm{\infty },-\sqrt{\frac{b}{a}}]$单调递减，在$[-\sqrt{\frac{b}{a}},0)$单调递增，在$(0,\sqrt{\frac{b}{a}}]$单调递增，在$[\sqrt{\frac{b}{a}},+\mathrm{\infty })$单调递减。

函数单调性的证明

对$f(x)=x+\frac{a}{x}(a>0)$，任取$0<x_1<x_2\le \sqrt{a}$，则有$\{\begin{array}{c}{x}_1-x_2<0\\ x_1\cdot x_2>0\\ 0<x_1\cdot x_2<a\end{array}$
$\therefore f(x_1)-f(x_2)=x_1+\frac{a}{x_1}-x_2-\frac{a}{x_2}=\frac{(x_1-x_2)(x_1\cdot x_2-a)}{x_1\cdot x_2}>0$，即$f(x_1)>f(x_2)$
$\therefore f(x)$在$(0,\sqrt{a}]$上单调递减。同理，$f(x)$在$[\sqrt{a},+\mathrm{\infty })$上单调递增；在$(-\mathrm{\infty },-\sqrt{a}]$上单调递增；在$[-\sqrt{a},0)$上单调递减。 Template:Math-stub