對偶小波

Template:Refimprove 在數學上，一個對偶小波（Template:Lang-en）為小波的對偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可積函數(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而， 對偶級數一般並不是由平方可積函數本身表示。

定義

給一個平方可積函數 $\psi \in L^2(ℝ)$, 定義級數 $\{{\psi }_{jk}\}$ 由

${\psi }_{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)$

給整數 $j,k\in \mathbb{Z}$.

這種函數稱為R函數(R-function)，假如$\{{\psi }_{jk}\}$的線性展延在$L^2(ℝ)$上,且假如存在一個正的常數A, B，其中$0<A\le B<\mathrm{\infty }$ 如下式

$A\Vert c_{jk}{\Vert }_{l^2}^2\le \Vert \sum _{jk=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jk}{\psi }_{jk}{\Vert }_{L^2}^2\le B\Vert c_{jk}{\Vert }_{l^2}^2$

對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數 $\{c_{jk}\}$. 在這裡, $\Vert \cdot {\Vert }_{l^2}$ 代表平方和範數:

$\Vert c_{jk}{\Vert }_{l^2}^2=\sum _{jk=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_{jk}{|}^2$

而 $\Vert \cdot {\Vert }_{L^2}$ 代表在 $L^2(ℝ)$的通常範數(usual norm):

$\Vert f{\Vert }_{L^2}^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx$

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一個獨特的對偶基底(dual basis) ${\psi }^{jk}$ 如下式

$⟨{\psi }^{jk}|{\psi }_{lm}⟩={\delta }_{jl}{\delta }_{km}$

${\delta }_{jk}$為克羅內克函數(Kronecker delta)，而 $⟨f|g⟩$為在$L^2(ℝ)$的內積(inner produce)。確實，這裡存在一個對於平方可積函數 f 表示基底的特殊級數表示:

$f(x)=\sum _{jk}⟨{\psi }^{jk}|f⟩{\psi }_{jk}(x)$

假如這裡存在一個函數 $\tilde{\psi }\in L^2(ℝ)$ 如下式

${\tilde{\psi }}_{jk}={\psi }^{jk}$

$\tilde{\psi }$ 稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般來說，對於一些R函數(R-function)ψ,對偶不一定存在。在特別情況 $\psi =\tilde{\psi }$中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。

要舉一個沒有對偶的R函數(R-function)很簡單。讓$\varphi$ 為一個正交小波。然後定義 $\psi (x)=\varphi (x)+z\varphi (2x)$，z 為複數.如此一來可以很簡單的表明 ψ 沒有對偶小波。

其他相關

• Multiresolution analysis

文獻

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8