导集

Template:NoteTA Template:需要专家关注在数学，特别是点集拓扑学中，拓扑空间的子集 $S$ 的导集（导出集合）是 $S$ 的所有极限点的集合。它通常記为 $S^{'}$ 。

这个概念是格奥尔格·康托尔在1872年引入的，他开发集合论很大程度上就是为了研究在实直线上的导出集合。

导集公理

导集是拓扑学的基础概念之一，可以用来定义拓扑空间。给定集合 $X$ ，考慮一個定義在 $X$ 的冪集 $𝒫 (X)$ 上的运算 $d : 𝒫 (X) \to 𝒫 (X)$ ，若 $d$ 满足以下导集公理，則稱 $d$ 為導集運算：

$d (A)$ 稱為 $A$ 的導來集。

从导集出发可以定义各种拓扑的基础概念：

闭集： $X$ 的子集 $A$ 是闭集，当且仅当 $d (A) \subseteq A$ 。（从此处可以看到和闭集公理的等价性，从而可以等价地定义拓扑空间。）
同胚：拓扑空间 $T_{1} (X_{1}, τ_{1})$ 、 $T_{1} (X_{2}, τ_{2})$ 同胚，当且仅当存在双射 $f : 𝒫 (X_{1}) \to 𝒫 (X_{2})$ ，使得 $\forall A \subseteq X_{1}, f (d (A)) = d (f (A))$ 。

$S, T \subseteq X$ ，若 $S \cap T = \emptyset$ ， $S \cap d (T) = \emptyset$ ， $d (S) \cap T = \emptyset$ 。则称 $S$ 和 $T$ 是分离的。（注意： $d (S) \cap d (T)$ 不一定为 $\emptyset$ ）。
集合 $S$ 被定义为完美的，如果 $S = d (S)$ 。等价地说，完美集合是没有孤点的闭集。完美集合又称为完备集合。
Cantor-Bendixson定理声称任何波兰空间都可以写为可数集合和完美集合的并集。因为任何波兰空间的 $G_{δ}$ 子集都再次是波兰空间，这个定理还证明了任何波兰空间的 $G_{δ}$ 子集都是可数集合和完美集合的并集。
拓扑空间 $X$ 是T₁ 空间，当且仅当 $\forall x \in X, d ({x}) = \emptyset$ 。