对数正态分布

Template:NoteTA Template:Infobox 機率分佈 在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 $Y$ 是正态分布的随机变量，则 $\exp (Y)$（指数函数）为对数正态分布；同样，如果 $X$ 是对数正态分布，则 $\ln X$为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 $x>0$，对数正态分布的概率密度函数为

$f(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(\ln x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}$

其中 $\mu$ 与 $\sigma$ 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

$\mathrm{E}(X)=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$

方差为

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=(e^{{\sigma }^2}-1)e^{2\mu +{\sigma }^2}.$

给定期望值与方差，也可以用这个关系求 $\mu$ 与 $\sigma$

$\mu =\ln (\mathrm{E}(X))-\frac{1}{2}\ln (1+\frac{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)}{\mathrm{E}(X{)}^2}),$

${\sigma }^2=\ln (1+\frac{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)}{\mathrm{E}(X{)}^2}).$

与几何平均值和几何标准差的关系

对数正态分布、几何平均数与几何標準差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 $\exp (\mu )$，几何標準差等于 $\exp (\sigma )$。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

置信区间界	对数空间	几何
3σ 下界	$\mu -3\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}/{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^3$
2σ 下界	$\mu -2\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}/{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^2$
1σ 下界	$\mu -\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}/{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}$
1σ 上界	$\mu +\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}$
2σ 上界	$\mu +2\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^2$
3σ 上界	$\mu +3\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^3$

其中几何平均数 ${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}=\exp (\mu )$，几何標準差 ${\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}=\exp (\sigma )$

矩

原始矩为：

${\mu }_1=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$

${\mu }_2=e^{2\mu +4{\sigma }^2/2}$

${\mu }_3=e^{3\mu +9{\sigma }^2/2}$

${\mu }_4=e^{4\mu +16{\sigma }^2/2}$

或者更为一般的矩

${\mu }_k=e^{k\mu +k^2{\sigma }^2/2}.$

局部期望

随机变量 $X$ 在阈值 $k$ 上的局部期望定义为

$g(k)=\underset{k}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-k)f(x)dx$

其中 $f(x)$ 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

$g(k)=\exp (\mu +{\sigma }^2/2)\mathrm{\Phi }\left(\frac{-\ln (k)+\mu +{\sigma }^2}{\sigma }\right)-k\mathrm{\Phi }\left(\frac{-\ln (k)+\mu }{\sigma }\right)$

其中 $\mathrm{\Phi }$ 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。

参数的最大似然估计

为了确定对数正态分布参数 $\mu$ 与 $\sigma$ 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

$f_L(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{x}{f}_N(\ln x;\mu ,\sigma )$

其中用 $f_L(\cdot )$ 表示对数正态分布的概率密度函数，用 $f_N(\cdot )$— 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

$\begin{array}{ccc}{\ell }_L(\mu ,\sigma |x_1,x_2,...,x_n)& =& -\sum _k\ln x_k+{\ell }_N(\mu ,\sigma |\ln x_1,\ln x_2,\dots ,\ln x_n)=\\ \\ & =& \mathrm{constant}+{\ell }_N(\mu ,\sigma |\ln x_1,\ln x_2,\dots ,\ln x_n).\end{array}$

由于第一项相对于 $\mu$ 与 $\sigma$ 来说是常数，两个对数最大似然函数 ${\ell }_L$ 与 ${\ell }_N$ 在同样的 $\mu$ 与 $\sigma$ 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

$\hat{\mu }=\frac{\sum _k\ln x_k}{n},{\hat{\sigma }}^2=\frac{\sum _k{(\ln x_k-\hat{\mu })}^2}{n}.$

相关分布

• 如果 $Y=\ln (X)$ 与 $X\sim \mathrm{Log-N}(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $Y\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 是正态分布。
• 如果 $X_m\sim \mathrm{Log-N}(\mu ,{\sigma }_m^2),m=\overline{1...n}$ 是有同样 $\mu$ 参数、而 $\sigma$ 可能不同的统计独立对数正态分布变量 ，并且 $Y=\prod _{m=1}^n{X}_m$，则 $Y$ 也是对数正态分布变量：$Y\sim \mathrm{Log-N}(n\mu ,\sum _{m=1}^n{\sigma }_m^2)$。

进一步的阅读资料

• Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" Template:Wayback, in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

参考文献

• 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
• Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues Template:Wayback, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
• 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). Template:ISBN
• Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 Template:Wayback at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪.

参见

• 几何平均数
• 几何标准差
• 误差函数