密克定理

密克定理（Template:Lang-en）是几何学中關於相交圆的定理。1838年，密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。

定理陳述

三圓定理：設三個圓$C_1$, $C_2$, $C_3$交於一點$O$，而$M$, $N$, $P$分別是$C_1$ 和$C_2$, $C_2$和$C_3$, $C_3$和$C_1$的另一交點。設$A$為$C_1$的點，直線$MA$交$C_2$於$B$，直線$PA$交$C_3$於$C$。那麼$B$, $N$, $C$這三點共線。

逆定理：如果$\mathrm{△}ABC$是三角形，$M$, $N$, $P$三點分別在邊$AB$, $BC$, $CA$上，那麼三角形$\mathrm{△}AMP$, $\mathrm{△}BMN$, $\mathrm{△}CNP$的外接圓交於一點$O$。

完全四線形定理：如果$ABCDEF$是完全四線形，那麼三角形$\mathrm{△}EAD$, $\mathrm{△}EBC$, $\mathrm{△}FAB$, $\mathrm{△}FDC$的外接圓交於一點 $O$，稱為密克點。

四圓定理：設$C_1$, $C_2$,$C_3$, $C_4$為四個圓，$A_1$和$B_1$是$C_1$和$C_2$的交點，$A_2$和$B_2$是$C_2$ 和$C_3$的交點，$A_3$和$B_3$是$C_3$和$C_4$的交點，$A_4$和$B_4$是$C_1$和$C_4$的交點。那麼$A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$四點共圓當且僅當$B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$四點共圓。

五圓定理：設$ABCDE$為任意五邊形，五點$F$, $G$, $H$, $I$, $J$分別是$EA$和$BC$ , $AB$和$CD$, $BC$和$DE$, $CD$和$EA$, $DE$和$AB$的交點，那麼三角形$\mathrm{△}ABF$, $\mathrm{△}BCG$, $\mathrm{△}CDH$, $\mathrm{△}DEI$, $\mathrm{△}EAJ$的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓。需要注意这样构造出的圆並不穿過五個外接圓的圓心。

几何中的五圆定理是指，五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星。

逆定理：設$C_1,$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$五個圓的圓心都在圓$C$上，相鄰的圓交於$C$上，那麼把它們不在$C$上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交於這五個圓上。

歷史

1838年密克在劉維爾的期刊《纯粹与应用数学杂志》發表了該定理的一部份。

密克的第一條定理，是很久前已有的著名經典結果，以圓周角定理證明。

完全四線形四圓的交點現在稱為密克點，但這性質施泰納在1828年已經知道，華萊士也很可能已經知道。

五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由克利福德提出及證明。

2000年12月20日，中国国家主席江澤民出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間，在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求証“五點共圓”的問題，令問題重新引起廣泛興趣，五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。

孔涅在2002年10月的一個研討會也重提這問題。

外部連結

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• Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem at Dynamic Geometry Sketches