奥恩斯坦-乌伦贝克过程

在数学中，奥恩斯坦-乌伦贝克过程（Ornstein-Uhlenbeck process，简称OU过程）是一个随机过程，在金融数学和物理学中有很多的引用。OU过程描述一个经历摩擦的布朗粒子（damped random walk）。

这个过程以奥恩斯坦（Leonard Ornstein）和乔治·乌伦贝克的名字命名。

这是一个自迴歸模型AR(1)。

θ =1.0，σ =3和μ =(0,0) 粒子在(10,10)开始

定义

θ =1.0，σ =3, μ =(0,0,0) 粒子在(10,10,10)开始

OU过程有下面的随机微分方程

$d{x}_t=-\theta x_{t}dt+\sigma d{W}_t$

其中的 $\theta >0$ ， $\sigma >0$ 是参数，并且 $W_t$ 是维纳过程。

$d{x}_t=\theta (\mu -x_t)dt+\sigma d{W}_t$

$\mu$ 是常值。上面的方程是Vasicek模型。

福克–普朗克方程

OU过程的福克–普朗克方程是

$\frac{\partial P}{\partial t}=\theta \frac{\partial }{\partial x}(xP)+D\frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}$

$D={\sigma }^2/2$。这是一个抛物偏微分方程。方程的解是

$P(x,t\mid x^{\prime },t^{\prime })=\sqrt{\frac{\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t^{\prime })})}}\exp [-\frac{\theta }{2D}\frac{(x-x^{\prime }{e}^{-\theta (t-t^{\prime })}{)}^2}{1-e^{-2\theta (t-t^{\prime })}}]$

三个OU进程，θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
蓝：在a = 0 开始（几乎必然）
绿：在a=2开始
红：初始值呈正态分布

相关

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外部链接

• Review of Statistical Arbitrage, Cointegration, and Multivariate Ornstein–Uhlenbeck Template:Wayback, Attilio Meucci
• A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, Damiano Brigo, Antonio Dalessandro, Matthias Neugebauer and Fares Triki
• Simulating and Calibrating the Ornstein–Uhlenbeck process, M. A. van den Berg
• Maximum likelihood estimation of mean reverting processes Template:Wayback, Jose Carlos Garcia Franco
• Template:Cite web