奥尔-索末菲方程

奥尔－索末菲方程（Template:Lang-en）是流体力学中的一个特征值方程，用以描述黏性平行流动的二维线性扰动模态。当平行层流满足特定条件时，相应的纳维-斯托克斯方程的解会变得不稳定，此时可使用奥尔－索末菲方程判断流体动力稳定性的条件。

奥尔－索末菲方程以Template:Le与阿诺德·索末菲命名。

公式

图中所示为管道流动中的基流。

假设经扰动后的流速为

$𝐮=(U(z)+u^{\prime }(x,z,t),0,w^{\prime }(x,z,t))$,

其中$(U(z),0,0)$为未经扰动的基流。扰动速度有类波解${𝐮}^{\prime }\propto \exp (i\alpha (x-ct))$。使用Template:Le表示流动，由线性纳维-斯托克斯方程可以得到有量纲的奥尔－索末菲方程：

$\frac{\mu }{i\alpha \rho }{(\frac{d^2}{d{z}^2}-{\alpha }^2)}^2\phi =(U-c)(\frac{d^2}{d{z}^2}-{\alpha }^2)\phi -U^{″}\phi$,

其中$\mu$为流体的动力黏度，$\rho$为流体密度，$\phi$为流函数或速度势函数。如不考虑黏性影响，该方程可简化为Template:Le。

无量纲形式的奥尔－索末菲方程为：

$\frac{1}{i\alpha Re}{(\frac{d^2}{d{z}^2}-{\alpha }^2)}^2\phi =(U-c)(\frac{d^2}{d{z}^2}-{\alpha }^2)\phi -U^{″}\phi$,

其中$Re=\frac{\rho U_{0}h}{\mu }$为基流的雷诺数（$U_0$为特征速度，$h$为管道高度）。壁面（$z=z_1$与$z=z_2$）的无滑移边界条件为：

$\alpha \phi =\frac{d\phi }{dz}=0$（$\phi$为势函数）

或

$\alpha \phi =\frac{d\phi }{dx}=0$（$\phi$为流函数）。

方程的特征值为$c$，对应的特征向量为$\phi$。当波速$c$的虚部为正时基流不稳定，微小扰动会以指数形式放大。

参考文献

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