奇異控制

最优控制中的奇異控制（singular control）是指一些不容易求解，無法利用庞特里亚金最小化原理求出完整解的問題。這類問題中只有少部份已有解答，例如金融經濟學中的Template:Le或是航空學中的Template:Tsl。以下有進一步的技術說明。

應用庞特里亚金最小化原理時，最常見的困難點是當哈密頓量和控制 $u$有線性關係時，也就是$H(u)=\varphi (x,\lambda ,t)u+\cdots$，而且控制有其上下限$a\le u(t)\le b$。為了使$H(u)$有最小值，需要儘可能的將$u$增加到最大，或是減少到最小，依$\varphi (x,\lambda ,t)$的符號而異：

$u(t)=\{\begin{array}{cc}b,& \varphi (x,\lambda ,t)<0\\ ?,& \varphi (x,\lambda ,t)=0\\ a,& \varphi (x,\lambda ,t)>0.\end{array}$

若$\varphi$有時為正，有時為負，偶爾是0，則其解相當的直接，即為起停式控制，當$\varphi$由負切到正時，控制由$b$切換到$a$。

若$\varphi$在一段有限時間$t_1\le t\le t_2$內均為0，則稱為奇異控制。在$t_1$和$t_2$之間，哈密頓量對$u$的最大化無法提供有關解的資訊，這段期間的解需要透過其他的資訊來求得。

（有一個作法是重複的將$\partial H/\partial u$對時間微分，直到有出現顯式控制項為止，之後可以令該式為0，求解u。因此在時間 $t_1$ 和 $t_2$之間的控制 $u$ 會讓奇異條件繼續成立，可以用此方式來計算控制 $u$。所得的奇異弧（singular arc）若滿足凱利條件（Kelley condition），奇異弧也會是最佳解：

$(-1{)}^k\frac{\partial }{\partial u}\left[{\left(\frac{d}{dt}\right)}^{2k}{H}_u\right]\ge 0,k=0,1,\cdots$

。此條件也稱為廣義的Template:Tsl）。

bang-singular控制是指控制中有起停式控制的成份，也有奇異控制的成份。