多項式譜系

Template:No footnotes 计算复杂度理论中，多项式谱系是一个复杂度系列。它从P、NP和反NP复杂度类逐级产生至预言机。它类似于数理逻辑中算数阶层和分析阶层，只不过是由逐级放宽资源限制而产生的。

定义

多项式谱系有数个等价的定义。 Template:Ordered list

多项式谱系类别之间的关系

与多项式谱系等价的交换图表。箭头表示包含于。

由定义可推论出如下关系：

${\mathrm{\Sigma }}_i^{𝖯}\subseteq {\mathrm{\Delta }}_{i+1}^{𝖯}\subseteq {\mathrm{\Sigma }}_{i+1}^{𝖯}$

${\mathrm{\Pi }}_i^{𝖯}\subseteq {\mathrm{\Delta }}_{i+1}^{𝖯}\subseteq {\mathrm{\Pi }}_{i+1}^{𝖯}$

${\mathrm{\Sigma }}_i^{𝖯}=𝖼𝗈{\mathrm{\Pi }}_i^{𝖯}$

算术阶层和分析阶层中各层次包含关系都已确定为真包含，而多项式谱系中的这些包含关系是否为真包含仍未有定论，但人们普遍相信它们是真包含。如果任一${\mathrm{\Sigma }}_k^{𝖯}={\mathrm{\Sigma }}_{k+1}^{𝖯}$，或者${\mathrm{\Sigma }}_k^{𝖯}={\mathrm{\Pi }}_k^{𝖯}$，那么整个多项式层级将坍缩至$k$层：对任一$i>k$，都有${\mathrm{\Sigma }}_i^{𝖯}={\mathrm{\Sigma }}_k^{𝖯}$。特别的，如果$𝖯=𝖭𝖯$，那么多项式谱系将完全坍缩。

所有多项式层级的类别的并集为复杂度类PH。

性质

Template:Unsolved 多项式谱系与指数谱系和算术阶层类似，但复杂度更小。

已经确定PH包含于PSPACE，但不确定两者是否相等。这个问题有一个很有用的变体：PH = PSPACE当且仅当二阶逻辑复杂度类不能通过传递闭包运算扩展计算能力。

如果多项式谱系中有任何完备问题，那么它仅有有限个不同的层次。我们知道存在PSPACE完备问题，所以如果PH = PSPACE，PH必然坍缩，因为对任一PSPACE完备问题必然存在整数$k$使得这个问题是${\mathrm{\Sigma }}_k^{𝖯}$完备的。

每个多项式谱系中的复杂度类都包含$\underset{m}{\overset{p}{\le }}$完备问题（指多项式次多对一规约的完备问题）。而且每个多项式谱系中的复杂度类都对$\underset{m}{\overset{p}{\le }}$规约封闭，也就是说对于一个多项式谱系中的复杂度类$𝒞$和一个语言$ℒ\in 𝒞$，如果$A\underset{m}{\overset{p}{\le }}ℒ$，那么$A\in 𝒞$。这两个事实表明如果$K_i$是${\mathrm{\Sigma }}_i^{𝖯}$的完备问题，那么${\mathrm{\Sigma }}_{i+1}^{𝖯}={𝖭𝖯}^{K_i}$，并且${\mathrm{\Pi }}_{i+1}^{𝖯}={𝖼𝗈𝖭𝖯}^{K_i}$。比如说${\mathrm{\Sigma }}_2^{𝖯}={𝖭𝖯}^{𝖲𝖠𝖳}$。换句话说，如果一个语言是由某个$𝒞$预言机定义的，那么我们就可以假设它是基于$𝒞$中的某个完备问题定义的。完备问题这里就相当于对应复杂度类的一个“代表”。

Template:Link-en说明BPP包含于多项式谱系中的第二层。

Template:Link-en说明对于任意$k$，${\mathrm{\Sigma }}_2$都不包含于$𝖲𝖨𝖹𝖤(n^k)$。

户田定理说明PH包含于${𝖯}^{\mathrm{\#}𝖯}$。

多项式谱系中的问题

• 电路最小化是${\mathrm{\Sigma }}_2^{𝖯}$中的一个自然问题。给定数字$k$和计算布尔函数$f$的电路$A$，判定是否存在能够计算$f$并且至多$k$个门的电路。令$𝒞$为所有布尔电路的集合。令$G(f)$为计算$f$门数的函数。则语言

$L=\{⟨A,k,B,x⟩\in 𝒞\times \mathbb{N}\times 𝒞\times \{0,1{\}}^{*}|G(B)\le k\wedge A=B\}$

可在多项式时间内确定。语言

$CM=\{⟨A,k⟩\in 𝒞\times \mathbb{N}|\mathrm{\exists }B\in 𝒞\wedge G(B)\le k\wedge A=B\}$

为最小化电路语言。$CM\in {\mathrm{\Sigma }}_2^{𝖯}(={\mathrm{\exists }}^{𝖯}{\mathrm{\forall }}^{𝖯}𝖯)$因为$L$在多项式时间内可判定，并且给定$⟨A,k⟩$，$⟨A,k⟩\in CM$当且仅当存在电路$B$使得对于所有输入$x$，$⟨A,k,B,x⟩\in L$。

• 一个${\mathrm{\Sigma }}_k^{𝖯}$完备问题是有$k$量词交替的布尔公式的可满足性（缩写为QBF_k或者QSAT_k）。这是${\mathrm{\Sigma }}_k^{𝖯}$版本的布尔可满足性问题。在这个问题中布尔公式$f$的变量被分成了$k$个集合$X_1,X_2,\dots X_k$。我们需要确定

$\mathrm{\exists }{X}_1\mathrm{\forall }{X}_2\mathrm{\exists }{X}_3\dots f$

是否为真。也就是说存在对$X_1$的赋值，使得对所有的$X_2$, 存在对$X_3$的赋值，……，使得$f$为真。从全称量词开始交替到存在量词再到全称量词的变体则是${\mathrm{\Pi }}_k^{𝖯}$完备的。

• 这份概要Template:Wayback包含一份M.R.加里/D.S.约翰逊样式的二阶或更高阶的完备问题清单。

另见

• EXPTIME
• 指数谱系
• 算术阶层

参考文献

1. A. R. Meyer and L. J. Stockmeyer. The Equivalence Problem for Regular Expressions with Squaring Requires Exponential Space. In Proceedings of the 13th IEEE Symposium on Switching and Automata Theory, pp. 125–129, 1972. The paper that introduced the polynomial hierarchy.
2. L. J. Stockmeyer. The polynomial-time hierarchy. Theoretical Computer Science, vol.3, pp. 1–22, 1976.
3. C. Papadimitriou. Computational Complexity. Addison-Wesley, 1994. Chapter 17. Polynomial hierarchy, pp. 409–438.
4. Template:Cite book Section 7.2: The Polynomial Hierarchy, pp. 161–167.

引用

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