墨西哥帽小波

Mexican hat

在數學和數值分析裡， Ricker 小波

$\psi (t)=\frac{2}{\sqrt{3\sigma }{\pi }^{\frac{1}{4}}}(1-\frac{t^2}{{\sigma }^2})e^{\frac{-t^2}{2{\sigma }^2}}$

是对高斯函數的二阶导数进行取反并归一化的结果，也就是能夠縮放正規化的第二埃爾米特函數。在連續小波的家族當中，埃爾米特小波是個非常特別的存在（應用在連續小波轉換稱作埃爾米特轉換）。Ricker子波經常被採用來模擬地震數據，並作為在計算電動力學的廣譜源項。它通常只在美國才會被稱作墨西哥帽小波，因為在作为核函数處理2维圖像時，形成了墨西哥寬邊帽的形狀。 由于神經科學家David Marr 的缘故，该函数也被广泛称为 Marr wavelet 。

$\psi (x,y)=-\frac{1}{\pi {\sigma }^4}(1-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}){\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)/2{\sigma }^2}.$

2D Mexican hat wavelet

而多維一般化的墨西哥帽小波稱為高斯函數的拉普拉斯。實際上，這種小波有時會用高斯函数的差來逼近，因為它可以被分離，也因此在二維或者更多維的情況下，能够節省大量的計算時間。規模標準化拉普拉斯 ( $L_1$-norm) 經常被用來作為一個blob檢測和計算機視覺應用中的自動規模選擇。墨西哥帽小波也可以用Cardinal B-Slines 的微分來逼近。

墨西哥帽函數的消失動量

消失動量(vanish moment)的定義：

小波轉換中，母小波$\psi (t)$盡量選越高頻(意即vanish moment大的)越好．此處先介紹消失動量(vanish moment)的定義

k階動量(k-th moment)：

$m_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^k\psi (t)dt$

若$m_0=m_1=m_2=.....=m_{p-1}=0$，則我們稱母小波$\psi (t)$的消失動量(vanish moment)為p

消失動量(vanish moment)越高，經內積後被濾掉的低頻成分越多．

墨西哥帽函數的消失動量(vanish moment)：

墨西哥帽函數的數學表示式:

$\psi (t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2\pi t^2)e^{-\pi t^2}$

仔細觀察，$\psi (t)$ 其實是高斯函數的二次微分:

$\psi (t)=C\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{-\pi t^2},C=$ 常數。

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數

$\psi (t)=C\frac{d^2}{d{t}^2}{e}^{-\pi t^2}\to -C4{\pi }^2{f}^2{e}^{-\pi f^2}$

利用$\frac{1}{(-j2\pi {)}^k}{G}^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)dt$

可以算出$m_0=m_1=0,m_2\ne 0$

所以墨西哥帽函數的消失動量為2。

高斯函數p次微分的消失動量(vanish moment)：

高斯函數的p次微分的數學表示式:

$\psi (t)=\frac{d^p}{d{t}^p}{e}^{-\pi t^2}$

其傅立葉轉換為$(j2\pi f{)}^p{e}^{-\pi f^2}$。

利用$\frac{1}{(-j2\pi {)}^k}{G}^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)dt$

可以算出$m_0=m_1=m_{p-1},m_p\ne 0$。

所以高斯函數p次微分的消失動量為p。

同時也可以印證，墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，消失動量為2