垂足三角形

三角形 ABC 為黑色，從 P 延伸出去的三條垂線為藍色，由此得到的垂足三角形 LMN 為紅色

在幾何學上，垂足三角形（Template:Lang-en）是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形。

具體地說，考慮一個三角形$ABC$，選定一個異於頂點$A,B,C$的點$P$。通過$P$對三角形的三邊做垂直線，將這些垂直線與$\overleftrightarrow{BC},\overleftrightarrow{AC},\overleftrightarrow{AB}$的交點分別命名為$L,M,N$，則三角形$LMN$是一個垂足三角形。

性質

如果$ABC$不是鈍角三角形，則其垂足三角形$LMN$的內角角度分別為$180^{\circ }-2A$、$180^{\circ }-2B$、$180^{\circ }-2C$。 若$P$點位於三角形$ABC$的特殊中心上，則有一些特殊情況：

• 若$P$是$ABC$的垂心，則$LMN$是垂心三角形（Template:Lang-en）。
• 若$P$是$ABC$的內心，則$L,M,N$是$ABC$之內切圓的三個切點。
• 若$P$是$ABC$的外心，則$LMN$是中點三角形。

若$P$點以三角形$ABC$為基準的三線坐標是$p:q:r$，則其垂足三角形的頂點$L,M,N$坐標為：

$L=0:q+p\cos C:r+p\cos B$

$M=p+q\cos C:0:r+q\cos A$

$N=p+r\cos B:q+r\cos A:0$

相關定理

P 在外接圓上的情形，此時垂足三角形退化為一條線（紅色）

卡諾定理：紅色區域與藍色區域的面積相等

西姆松定理

Template:Main 若$P$點位於$ABC$的外接圓上，則$L,M,N$共線，反之亦然。這條線被稱為垂足線（Template:Lang-en），又稱為西姆松線（Template:Lang-en）。

卡諾定理

Template:Main $A,B,C,L,M,N$六點滿足以下等式：

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AN}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BL}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{CM}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{NB}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{LC}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{MA}}$

反垂足三角形

三角形 ABC 為紅色，從 P 延伸至頂點的三條線為藍色，由此得到的反垂足三角形 LMN 為黑色

過$A$作一條垂直於$\overline{PA}$的直線，過$B$作一條垂直於$\overline{PB}$的直線，過$C$作一條垂直於$\overline{PC}$的直線，則這三條直線構成的三角形稱為反垂足三角形（Template:Lang-en）。在這個反垂足三角形中，設與$A$相對的頂點為$A^{\prime }$，與$B$相對的頂點為$B^{\prime }$，與$C$相對的頂點為$C^{\prime }$。

$ABC$是$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$在$P$點上的垂足三角形，這也是其名稱的由來。

若$P$點以三角形$ABC$為基準的三線坐標是$p:q:r$，則反垂足三角形的頂點$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$坐標為：

$A^{\prime }=-(q+p\cos C)(r+p\cos B):(r+p\cos B)(p+q\cos C):(q+p\cos C)(p+r\cos B)$

$B^{\prime }=(r+q\cos A)(q+p\cos C):-(r+q\cos A)(p+q\cos C):(p+q\cos C)(q+r\cos A)$

$C^{\prime }=(q+r\cos A)(r+p\cos B):(p+r\cos B)(r+q\cos A):-(p+r\cos B)(q+r\cos A)$

一個特殊的例子是，如果$P$點位於內心，則該反垂足三角形以$ABC$的三個旁心為頂點。