圓判據

Template:NoteTA Template:Refimprove 圓判據（circle criterion）是非線性控制及穩定性理論中，針對非線性時變系統的稳定性判据。可以視為是針對线性时不变系统（LTI）的奈奎斯特稳定判据之擴展版本。

簡介

考慮一個線性系統，但有非線性的回授，也就是在回授路徑上有非線性元素$\phi (v,t)$，假設此元素滿足區間條件$[{\mu }_1,{\mu }_2]$（即${\mu }_{1}v\le \phi (v,t)\le {\mu }_{2}v,\mathrm{\forall }v,t$），而且（為了簡化系統）開迴路系統穩定。則閉迴路系統全域漸近穩定的條件是線性系統的尼奎斯特轨迹不會穿過以X軸上線段$[-1/{\mu }_1,-1/{\mu }_2]$為直徑的圓。

一般敘述

考慮非線性系統

$\dot{𝐱}=𝐀𝐱+𝐁𝐰,$

$𝐯=𝐂𝐱,$

$𝐰=\phi (v,t).$

假設

1. ${\mu }_{1}v\le \phi (v,t)\le {\mu }_{2}v,\mathrm{\forall }v,t$
2. $\det (i\omega I_n-A)\ne 0,\mathrm{\forall }\omega \in R^{-1}\text{ and }\mathrm{\exists }{\mu }_0\in [{\mu }_1,{\mu }_2]:A+{\mu }_{0}BC$ is stable
3. $\mathrm{\Re }[({\mu }_{2}C(i\omega I_n-A{)}^{-1}B-1)(1-{\mu }_{1}C(i\omega I_n-A{)}^{-1}B)]<0\mathrm{\forall }\omega \in R^{-1}.$

則存在$\mathrm{\exists }c>0,\delta >0$使得針對系統的任意解，下式都成立；

$|x(t)|\le c{e}^{-\delta t}|x(0)|,\mathrm{\forall }t\ge 0.$

條件3稱為「頻率條件」，條件1稱為「區間條件」。

相關條目

• 波波夫判據

參考資料

• Template:Cite book

外部連結

• Sufficient Conditions for Dynamical Output Feedback Stabilization via the Circle Criterion
• Popov and Circle Criterion (Cam UK)Template:Wayback
• Popov and Circle Criterion (ETH)
• Stability analysis using the circle criterion in MathematicaTemplate:Wayback