圆柱代数

阿尔弗雷德·塔斯基发明的圆柱代数概念自然的出现于一阶逻辑的代数化中。可比较于布尔代数对命题逻辑所扮演的角色。实际上，圆柱代数是装备了建模量化的额外圆柱化运算的布尔代数。

定义

$\alpha$ 维圆柱代数，这里的 $\alpha$ 是任何序数，是代数结构 $(A,+,\cdot ,-,0,1,{\mathrm{\exists }}_i,d_{ij}{)}_{i,j<\alpha }$ 使得 $(A,+,\cdot ,-,0,1)$ 是布尔代数，${\mathrm{\exists }}_i$ 对于所有 $i$ 是在 $A$ 上的一元算子，而对于所有 $i$ 和 $j$，$d_{ij}$是$A$ 的指定元素，使得如下成立:

(C1) ${\mathrm{\exists }}_{i}0=0$

(C2) $x\le {\mathrm{\exists }}_{i}x$

(C3) ${\mathrm{\exists }}_i(x\cdot {\mathrm{\exists }}_{i}y)={\mathrm{\exists }}_{i}x\cdot {\mathrm{\exists }}_{i}y$

(C4) ${\mathrm{\exists }}_i{\mathrm{\exists }}_{j}x={\mathrm{\exists }}_j{\mathrm{\exists }}_{i}x$

(C5) $d_{ii}=1$

(C6) 如果 $k\ne i,j$，则 $d_{ij}={\mathrm{\exists }}_k(d_{ik}\cdot d_{kj})$

(C7) 如果 $i\ne j$，则 ${\mathrm{\exists }}_i(d_{ij}\cdot x)\cdot {\mathrm{\exists }}_i(d_{ij}\cdot -x)=0$

参见

• 抽象代数逻辑
• 一元布尔代数

引用

• Leon Henkin, Monk, J.D., and Alfred Tarski (1971) Cylindric Algebras, Part I. North-Holland. ISBN 978-0-7204-2043-2.
• -------- (1985) Cylindric Algebras, Part II. North-Holland.
• Caleiro, C., and Gonçalves, R (2007) "On the algebraization of many-sorted logics" in J. Fiadeiro and P.-Y. Schobbens, eds., Recent Trends in Algebraic Development Techniques - Selected Papers, Vol. 4409 of Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag: 21-36.

外部链接

• Jipsen's algebra page.