圆幂定理

圓冪定理（Template:Lang-en），是平面幾何中的一個定理。這定理指出，給定一個圓 Template:Math 以及一點 Template:Math，從該點引出兩條割線，分別與 Template:Math 相交於 Template:Math、Template:Math 以及 Template:Math、Template:Math，則有

$\overline{PA}\cdot \overline{PB}=\overline{PC}\cdot \overline{PD}$

這個乘積，是 Template:Math 對於 Template:Math 的圓冪（Template:Lang-en），故定理以此為名。

圓冪定義

在圖中，Template:Math 是圓心，Template:Math 是半徑 Template:Math（藍色），Template:Math 是點到圓心的距離 Template:Math（橙色），Template:Math 是切線（紅色），Template:Math 是割線（黑色）。

平面上任意一點 Template:Math ，以及半徑為 Template:Math 、圓心為 Template:Math 的圓，則定義圓冪 Template:Math 為：

$h=O{P}^2-r^2$。

從這個定義可知，若 Template:Math 在圓內，則圓冪為負數；若 Template:Math 在圓外，則圓冪為正數；若 Template:Math 在圓周上，則有圓冪等於零。

圓冪又可等價地定義為：從該點穿過圓心的割線，與圓所作的兩個交點，與該點距離的乘積。也就是說：

$h=\overline{PA}\cdot \overline{PB}$ 。

理由如下：

$\overline{PA}\cdot \overline{PB}=(s-r)(s+r)=s^2-r^2=h$。

變體

圓冪定理有三個變體，分別是「相交弦定理」、「割線定理」及「切割線定理」。

相交弦定理

在圖中，圓心為 Template:Math，圓上有兩弦 Template:Math 及 Template:Math，相交於 Template:Math

設有一圓，圓上有兩條弦 Template:Math 及 Template:Math，它們相交於 Template:Math，則有

$\overline{EA}\cdot \overline{EB}=\overline{EC}\cdot \overline{ED}$

這個乘積，是 Template:Math 的圓冪的相反數 Template:Math。這是因為圓冪為非正數，而線段的乘積為正數。

割線定理

設有一圓，圓外有一點 Template:Math，引出兩條割線，分別與圓相交於 Template:Math、Template:Math 以及 Template:Math、Template:Math，則有

$\overline{PA}\cdot \overline{PB}=\overline{PM}\cdot \overline{PN}$

這個乘積，是 Template:Math 的圓冪 Template:Math。

切割線定理

設有一圓，圓外有一點 Template:Math，引出一條割線，與圓相交於 Template:Math、Template:Math ，又引出一條切線，與圓相切於 Template:Math，則有

$\overline{PA}\cdot \overline{PB}={\overline{PT}}^2$

這個乘積，同樣是 Template:Math 的圓冪 Template:Math。

證明

相交弦定理

從同弓形內圓周角的性質可知，Template:Math 與 Template:Math 是相似三角形，因此

$\frac{EA}{EC}=\frac{ED}{EB}$

整理可得

$EA\cdot EB=EC\cdot ED$

證明完畢。

割線定理

從同弓形內圓周角的性質可知，Template:Math 與 Template:Math 是相似三角形，因此

$\frac{PA}{PM}=\frac{PN}{PB}$

整理可得

$PA\cdot PB=PM\cdot PN$

證明完畢。

切割線定理

從內錯弓形圓周角的性質可知，Template:Math 與 Template:Math 是相似三角形，因此

$\frac{PA}{PT}=\frac{PT}{PB}$

整理可得

$PA\cdot PB={PT}^2$

證明完畢。

參見

• Template:鏈解