圆均匀分布

在概率论与方向统计学中，圆均匀分布（Template:Lang-en）是单位圆上均匀的概率分布。

描述

圆均匀分布的概率密度函数是：

$f_{CU}(\theta )=\frac{1}{2\pi }$

用圆变量$z=e^{i\theta }$来表示，圆均匀分布的n（n>0）阶圆矩$⟨z^n⟩$都为0。

平均值的分布

从一个圆均匀分布取得的$N$个测量值$z_n=e^{i{\theta }_n}$的样本平均为：

$\bar{z}=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{z}_n=\bar{C}+i\bar{S}=\bar{R}{e}^{i\bar{\theta }}$

其中

$\bar{C}=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\cos ({\theta }_n)\bar{S}=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\sin ({\theta }_n)$

平均长度

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{R}}=|\bar{z}{|}^2=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{C}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{S}}$

平均角度

$\bar{\theta }=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(\bar{z}).$

圆均匀分布的样本平均的取值集中在0的附近，随着N增大而更加集中。均匀分布的样本平均的分布为：

$\frac{1}{(2\pi {)}^N}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\prod _{n=1}^{N}d{\theta }_n=P(\bar{R})P(\bar{\theta })d\bar{R}d\bar{\theta }$

其中$\mathrm{\Gamma }$是$[0,2\pi {)}^N$的使得$\bar{R}$与$\overline{\theta }$为常数的子空间。角度分布$P(\overline{\theta })$是均匀的

$P(\bar{\theta })=\frac{1}{2\pi }$

$\overline{R}$的分布为：

$P_N(\bar{R})=N^2\bar{R}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_0(N\bar{R}t)J_0(t{)}^{N}tdt$

圆均匀分布的样本平均的分布（N=3），蒙特卡洛模拟，1万点。

其中$J_0$是0阶贝塞尔函数。上面的积分没有已知的解析解，也很难作近似估计，因为被积函数有大量震荡。

对于某些特殊情况，上面的积分式可以求出来，例如N=2：

$P_2(\overline{R})=\frac{2}{\pi \sqrt{1-{\overline{R}}^2}}$当N很大时，平均值的分布可以由方向统计学的中心极限定理确定。由于角度是均匀分布的，每个角的正弦和余弦服从分布：

$P(u)du=\frac{1}{\pi }\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$其中$u=\cos {\theta }_n$或$\sin {\theta }_n$。由此可得平均值为0，均值为1/2。根据中心极限定理，在大N极限下，$\overline{C}$与$\overline{S}$作为大量独立同分布的随机变量的和，近似于均值为0方差为1/2N的正态分布。

熵

均匀分布的微分熵就是

$H_U=-\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{1}{2\pi }\ln \left(\frac{1}{2\pi }\right)d\theta =\ln (2\pi )$

其中$\mathrm{\Gamma }$是长度为$2\pi$的区间。这是圆分布的熵的最大值。