喬丹–維格納變換

Jordan–Wigner 变换可用于将自旋算符映射到费米子的产生和湮灭算符。一维晶格模型由 Pascual Jordan 与 Eugene Wigner 提出，当前亦得到二维模型的类似变换。 通过把自旋算符变换为费米子的产生湮灭算符，继而在费米子基矢中作对角化，Jordan–Wigner 变换经常用于精确求解 1D 自旋链，例如伊辛模型和 XY 模型。

此变换证明一维空间至少在有些情况下， 自旋-1/2 粒子与费米子不可区别。

自旋与费米子类比

接下来证明如何从一维自旋-1/2粒子构成的自旋链映射到费米子.

将自旋-1/2泡利算符作用到1D链的上的第j个晶座，${\sigma }_j^{+},{\sigma }_j^{-},{\sigma }_j^z$. 选取 反对易算符 ${\sigma }_j^{+}$ and ${\sigma }_j^{-}$, 可以发现 $\{{\sigma }_j^{+},{\sigma }_j^{-}\}=1$, 这些可从费米子的产生湮灭算符中得到。我们可以尝试，

${\sigma }_j^{+}=({\sigma }_j^x+i{\sigma }_j^y)/2=f_j^{†}$

${\sigma }_j^{-}=({\sigma }_j^x-i{\sigma }_j^y)/2=f_j$

${\sigma }_j^z=2f_j^{†}{f}_j-1.$

这样，可以得到同晶格上费米子关系 $\{f_j^{†},f_j\}=1$, 但对不同的晶格，有关系 $[f_j^{†},f_k]=0$, 其中 $j\ne k$, 如此不同晶格上的自旋的对易关系不同于反对易的费米子。人们必须弥补这个问题。

Jordan–Wigner 变换

能够恢复从自旋算符到真正费米子对易关系的变换于1928由 Jordan 和 Wigner 提出。此为 Klein 变换的特殊情况。考虑费米子链，定义一组新算符

$a_j^{†}=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}{f}_k^{†}{f}_k}{f}_j^{†}$

$a_j=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}{f}_k^{†}{f}_k}{f}_j$

$a_j^{†}{a}_j-\frac{1}{2}=f_j^{†}{f}_j-\frac{1}{2}.$

与之前的定义相差一个相 $e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}{f}_k^{†}{f}_k}$。此相与场模 $k=1,\dots ,j-1$ 下占据的费米子数有关。如果占有模数为偶，此相等于 $+1$； 占有模数为奇，相为 $-1$。表示为

$e^{\pm i\pi \sum _{k=1}^{j-1}{f}_k^{†}{f}_k}=\prod _{k=1}^{j-1}{e}^{\pm i\pi f_k^{†}{f}_k}=\prod _{k=1}^{j-1}(1-2f_k^{†}{f}_k).$

最后一个等式使用了 $f_k^{†}{f}_k=0,1.$

这样，变换后的自旋算符具有正确的费米子对易关系

$\{a_i^{†},a_j\}={\delta }_{i,j},\{a_i^{†},a_j^{†}\}=0,\{a_i,a_j\}=0.$

逆变换为

$a_j^{†}=e^{+i\pi \sum _{k=1}^{j-1}{a}_k^{†}{a}_k}{\sigma }_j^{+}$

$a_j=e^{-i\pi \sum _{k=1}^{j-1}{a}_k^{†}{a}_k}{\sigma }_j^{-}$

$a_j^{†}{a}_j={\sigma }_j^z+\frac{1}{2}.$

另见

• Klein transformation
• S-duality
• Michael Nielsen: Notes on Jordan-Wigner TransformationTemplate:Wayback