呂利耶定理

球面三角學中，球面三角形的邊長與面積的關係由呂利耶定理給出。這是海倫公式向非歐幾何的推廣。

球面三角形

在半徑為$R$的球面上的球面三角形$\mathrm{△}ABC$，其三邊$BC,CA,AB$的邊長（以三邊與球心所成角度表示）為$a,b,c$，半周長為$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$。呂利耶定理給出它在球面上的面積：

$S=4R^2\arctan \left(\sqrt{\tan \frac{p}{2}\tan \frac{p-a}{2}\tan \frac{p-b}{2}\tan \frac{p-c}{2}}\right)$。

當球面曲率足夠小，球面近似於平面，從以上公式可得出海倫公式為其極限情形。事實上，當$R$比$AB,BC,CA$大的多，使得$a,b,c<<1$，可作近似估算

$\tan x\approx \arctan x\approx x$，

代入上式便得出海倫公式。