吉布斯采样

吉布斯采样（Template:Lang-en）是统计学中用于马尔科夫蒙特卡洛（MCMC）的一种算法，用于在难以直接采样时从某一多变量概率分布中近似抽取样本序列。该序列可用于近似联合分布、部分变量的边缘分布或计算积分（如某一变量的期望值）。某些变量可能为已知变量，故对这些变量并不需要采样。

吉布斯采样常用于统计推断（尤其是贝叶斯推断）之中。这是一种随机化算法，与最大期望算法等统计推断中的确定性算法相区别。与其他MCMC算法一样，吉布斯采样从马尔科夫链中抽取样本，可以看作是Metropolis–Hastings算法的特例。

该算法的名称源于约西亚·威拉德·吉布斯，由Template:Le与Template:Le兄弟于1984年提出。

演算法

吉布斯采样适用于条件分布比边缘分布更容易采样的多变量分布。假设我们需要从联合分布 $p(x_1,\dots ,x_n)$中抽取$𝐗=(x_1,\dots ,x_n)$的$k$个样本。记第$i$个样本为${𝐗}^{(i)}=(x_1^{(i)},\dots ,x_n^{(i)})$。吉布斯采样的过程则为：

1. 确定初始值${𝐗}^{(1)}$。
2. 假设已得到样本${𝐗}^{(i)}$，记下一个样本为${𝐗}^{(i+1)}=(x_1^{(i+1)},x_2^{(i+1)},\dots ,x_n^{(i+1)})$。于是可将其看作一个向量，对其中某一分量$x_j^{(i+1)}$，可通过在其他分量已知的条件下该分量的概率分布来抽取该分量。对于此条件概率，我们使用样本${𝐗}^{(i+1)}$中已得到的分量$x_1^{(i+1)}$到$x_{j-1}^{(i+1)}$以及上一样本${𝐗}^{(i)}$中的分量$x_{j+1}^{(i)}$到$x_n^{(i)}$，即$p(x_j^{(i+1)}|x_1^{(i+1)},\dots ,x_{j-1}^{(i+1)},x_{j+1}^{(i)},\dots ,x_n^{(i)})$。
3. 重复上述过程$k$次。

在采样完成后，我们可以用这些样本来近似所有变量的联合分布。如果仅考虑其中部分变量，则可以得到这些变量的边缘分布。此外，我们还可以对所有样本求某一变量的平均值来估计该变量的期望。

参见

• 圖模式
• 马尔可夫链
• 马尔可夫逻辑网络

参考文献

• Template:Citation
• Bolstad, William M. (2010), Understanding Computational Bayesian Statistics, John Wiley Template:ISBN
• Template:Cite journal
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• Gelman, A., Carlin J. B., Stern H. S., Dunson D., Vehtari A., Rubin D. B. (2013), Bayesian Data Analysis, third edition. London: Chapman & Hall.
• Levin, David A.; Peres, Yuval; Wilmer, Elizabeth L. (2008), "Markov Chains and Mixing Times", American Mathematical Society.
• Robert, C. P.; Casella, G. (2004), Monte Carlo Statistical Methods (second edition), Springer-Verlag.