反推控制

反推控制（backstepping）也稱為反演控制或反步法，是一種控制理论的技術，在約1990年時由Template:Link-en等人提出，針對特殊形式的非線性动力系统設計可以稳定系統的控制器。此一系統是由許多子系統一層一層組成，最內層的子系統不可再簡化，可以由其他方式穩定最內層的系統。由於此系統的递归結構，設計者可以以最內層可穩定的系統為啟始點，反推新的控制器來穩定較外層的子系統，此程序會一直進行到處理到最外層的外部控制命令為止。因此此方式稱為是「反推控制」。

反推控制的設計方式

反推控制的設計方式可以針對Template:Link-en的系統，提供一種递归方式使其在原點可以稳定。考慮以下型式的动力系统

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{cc}\dot{𝐱}& =f_x(𝐱)+g_x(𝐱)z_1\\ {\dot{z}}_1& =f_1(𝐱,z_1)+g_1(𝐱,z_1)z_2\\ {\dot{z}}_2& =f_2(𝐱,z_1,z_2)+g_2(𝐱,z_1,z_2)z_3\\ ⋮\\ {\dot{z}}_i& =f_i(𝐱,z_1,z_2,\dots ,z_{i-1},z_i)+g_i(𝐱,z_1,z_2,\dots ,z_{i-1},z_i)z_{i+1}\text{ for }1\le i<k-1\\ ⋮\\ {\dot{z}}_{k-1}& =f_{k-1}(𝐱,z_1,z_2,\dots ,z_{k-1})+g_{k-1}(𝐱,z_1,z_2,\dots ,z_{k-1})z_k\\ {\dot{z}}_k& =f_k(𝐱,z_1,z_2,\dots ,z_{k-1},z_k)+g_k(𝐱,z_1,z_2,\dots ,z_{k-1},z_k)u\end{array}\end{array}$

其中

• $𝐱\in {ℝ}^n$，其中$n\ge 1$。
• $z_1,z_2,\dots ,z_i,\dots ,z_{k-1},z_k$是純量。
• Template:Mvar是系統的純量輸入
• $f_x,f_1,f_2,\dots ,f_i,\dots ,f_{k-1},f_k$在原點處數值為零（也就是說$f_i(0,0,\dots ,0)=0$）
• $g_1,g_2,\dots ,g_i,\dots ,g_{k-1},g_k$是在關注區域內不為零（也就是$g_i(𝐱,z_1,\dots ,z_k)\ne 0$，在$1\le i\le k$的情形下）

另外假設系統

$\dot{𝐱}=f_x(𝐱)+g_x(𝐱)u_x(𝐱)$

在原點處有李雅普诺夫稳定性，可以用某種已知的控制方式$u_x(𝐱)$使得$u_x(\mathrm{𝟎})=0$。並且假設針對此穩定子系統，可以其李亞普諾夫函數 $V_x$。因此Template:Math子系統可以由其他方式穩定，利用反推控制可以將其穩定性延展到在外圍的$\mathbf{\text{z}}$。

在Template:Math的穩定子系統外圍的嚴格回授型式系統

• 反推控制的控制輸入Template:Mvar對狀態$z_n$有最直接的穩定性效果。
• 狀態$z_n$的作用是在狀態$z_{n-1}$之前的穩定性控制。
• 此程序會繼續，使每一個狀態$z_i$會都會被虛擬的控制信號$z_{i+1}$所穩定。

反推控制會確認用$z_1$要穩定Template:Math子系統的方式，接著再由下一個狀態$z_2$來驅動狀態$z_1$，使其產生可以穩定Template:Math的信號。因此此程序是從Template:Math的嚴格回授型式反推往外，一直到設計到最終的控制信號Template:Mvar。

递归控制设计概述

递归控制的作法如下

1. 假設較小（低階）的子系統

   $\dot{𝐱}=f_x(𝐱)+g_x(𝐱)u_x(𝐱)$

   已經可以用一些控制方式$u_x(𝐱)$穩定，此控制方式會符合$u_x(\mathrm{𝟎})=0$的條件。意思是說，穩定此系統的$u_x$，是用其他控制方式達成的。也假設已知此一穩定系統的李亞普諾夫函數 $V_x$。反推控制可以將這個子系統的穩定性拓展到較大的系統。

2. 會設計控制信號$u_1(𝐱,z_1)$，使得系統

   ${\dot{z}}_1=f_1(𝐱,z_1)+g_1(𝐱,z_1)u_1(𝐱,z_1)$

   穩定，讓$z_1$依照想要的$u_x$控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數（augmented Lyapunov function candidate）來設計

   $V_1(𝐱,z_1)=V_x(𝐱)+\frac{1}{2}(z_1-u_x(𝐱){)}^2$

   此控制信號$u_1$可以適當選擇，使${\dot{V}}_1$可以遠離0

3. 會設計控制信號$u_2(𝐱,z_1,z_2)$，使得系統

   ${\dot{z}}_2=f_2(𝐱,z_1,z_2)+g_2(𝐱,z_1,z_2)u_2(𝐱,z_1,z_2)$

   穩定，讓$z_2$依照想要的$u_1$控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數來設計

   $V_2(𝐱,z_1,z_2)=V_1(𝐱,z_1)+\frac{1}{2}(z_2-u_1(𝐱,z_1){)}^2$

   此控制信號 $u_2$可以適當選擇，使${\dot{V}}_2$可以遠離0

4. 會反覆此一程序，一直到其實際Template:Mvar已知為止，而且
   • 真實控制信號Template:Mvar會使$z_k$接近虛擬控制信號$u_{k-1}$的控制得以穩定。
   • 虛擬控制信號$u_{k-1}$會使$z_{k-1}$接近虛擬控制信號$u_{k-2}$的控制得以穩定。
   • 虛擬控制信號$u_{k-2}$會使$z_{k-2}$接近虛擬控制信號$u_{k-3}$的控制得以穩定。
   • ...
   • 虛擬控制信號$u_2$會使$z_2$接近虛擬控制信號$u_1$的控制得以穩定。
   • 虛擬控制信號$u_1$會使$z_1$接近虛擬控制信號$u_x$的控制得以穩定。
   • 虛擬控制信號$u_x$會使Template:Math穩定在原點。

此程序稱為反推（backstepping），因為是從內部穩定的子系統開始，漸漸反推到較外圍的系統，同時維持每一步的穩定性。因

• $f_i$在$0\le i\le k$時為0
• $g_i$在$1\le i\le k$不為0
• 給定控制信號$u_x$會滿足$u_x(\mathrm{𝟎})=0$,

因此所得的系統在原點（$𝐱=\mathrm{𝟎}$, $z_1=0$, $z_2=0$, ..., $z_{k-1}=0$及$z_k=0$）處穩定，是全域漸進穩定。

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