卡諾定理 (垂線)

卡諾定理以拉扎爾·卡諾命名，為垂直於三角形各邊的直線是否交於一點提供了一個充分必要條件。該定理也可被視為是畢氏定理的一般化。

定理

對於一個三角形 $A B C$ ，其三邊為 $a, b, c$ 。考慮三條垂直於各邊且交於一點的直線，若 $P_{a}, P_{b}, P_{c}$ 是這三條垂線在 $a, b, c$ 上的垂足，則下列關係式成立：

| A P_{c} |^{2} + | B P_{a} |^{2} + | C P_{b} |^{2} = | B P_{c} |^{2} + | C P_{a} |^{2} + | A P_{b} |^{2}

該命題的逆命題同樣成立：若 $P_{a}, P_{b}, P_{c}$ 在邊上的位置滿足關係式，則以這三點為垂足做出的三條垂線會交於一點。因此，該關係式為垂線是否交於一點提供了一個充分必要條件。

特例

若三角形 $△ A B C$ 的角 $C$ 為直角，則可以將三條垂線的交點 $F$ 置於 $A$ 上。此時由於 $P_{a} = C$ 、 $P_{b} = A$ 且 $P_{c} = A$ ，可得 $| A P_{b} | = 0$ 、 $| A P_{c} | = 0$ 、 $| C P_{a} | = 0$ 、 $| C P_{b} | = b$ 、 $| B P_{a} | = a$ 與 $| B P_{c} | = c$ ，代入卡諾定理的關係式後，即可推得畢氏定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 。

若三條垂線皆為中垂線，則 $| A P_{c} | = | B P_{c} |$ 、 $| B P_{a} | = | C P_{a} |$ 且 $| C P_{b} | = | A P_{b} |$ ，無論三邊長度為何，上述關係式必會成立，故可推得三角形的三條中垂線必交於一點。

參考資料

卡諾定理 (垂線)

定理

特例

參考資料

导航菜单

搜索