卜瓦松二項分布

在機率论和统计学中，卜瓦松二项分布是一個基於独立伯努利试验之和的离散機率分布。这一概念以西梅翁·德尼·泊松的名字命名。

换句话说，它是成功概率分別為$p_1,p_2,\dots ,p_n$的n次独立伯努利试验中，成功次数的機率分布。普通二项分布是卜瓦松二项分布在所有成功機率相同（即$p_1=p_2=\cdots =p_n$）时的特例。

定義

機率质量函数

n次试验中有k次成功的機率可以写为以下总和

$\mathrm{Pr}(K=k)=\sum _{A\in F_k}\prod _{i\in A}{p}_i\prod _{j\in A^c}(1-p_j)$

其中$F_k$是 {1,2,3,..., n } 的全體k元子集的集合。例如，如果n = 3，那么$F_2=\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}$。$A^c$是$A$的补集，也就是$A^c=\{1,2,3,\dots ,n\}\setminus A$。

$F_k$将包含$n!/((n-k)!k!)$個元素，因此上述总和在實務中是很難計算的，除非试验次数n很小（例如，如果n = 30，$F_{15}$包含超过10²⁰个元素）。然而，还有其他更有效的方法可以计算$\mathrm{Pr}(K=k)$。

只要成功機率都不等于 1，就可以使用递归公式计算出k次成功的機率：

$\mathrm{Pr}(K=k)=\{\begin{array}{cc}\prod _{i=1}^n(1-p_i)& k=0\\ \frac{1}{k}\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i-1}\mathrm{Pr}(K=k-i)T(i)& k>0\end{array}$

其中

$T(i)=\sum _{j=1}^n{\left(\frac{p_j}{1-p_j}\right)}^i.$

递归公式在数值上不稳定，在$n$约大于20時应避免使用。另一种方法是使用分治算法：假设$n=2^b$是2的幂，並以$f(p_{i:j})$表示成功概率為$p_i,\dots ,p_j$的卜瓦松二项分布，$*$表示卷积，則$f(p_{1:2^b})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^b})$。

另一种可能性是使用离散傅立叶变换。

$\mathrm{Pr}(K=k)=\frac{1}{n+1}\sum _{l=0}^n{C}^{-lk}\prod _{m=1}^n(1+(C^l-1)p_m)$

其中$C=\exp \left(\frac{2i\pi }{n+1}\right)$，$i=\sqrt{-1}$。

Chen和Liu在“卜瓦松二项式和条件伯努利分布的统计应用”中描述了其他方法。

特性

均值和方差

由于卜瓦松二项式分布變數是n个独立伯努利分布變數的总和，因此其均值和方差将是n个伯努利分布的均值和方差之和：

$\mu =\sum _{i=1}^n{p}_i$

${\sigma }^2=\sum _{i=1}^n(1-p_i)p_i$

當平均值（$\mu$）和次數（n）為定值，且所有成功機率相等時，我们會得到二项式分布，變異數此時最大。当平均值固定时，變異數的上界為具有相同均值的卜瓦松分布的變異數，該上界在n趋于无穷大時可以渐近取得。Template:Citation needed

熵

卜瓦松二項式分佈的熵沒有簡單的公式，但熵的上限是具有相同數字參數和相同均值的二項式分佈的熵。因此，熵也不大於相同均值的卜瓦松分佈的熵。

謝普-奧爾金凹性猜想由Template:Le和Template:Le於1981年提出，指出卜瓦松二項式分佈的熵是成功機率$p_1,p_2,\dots ,p_n$的凹函數。這個猜想由 Erwan Hillion 和 Oliver Johnson 於2015年證明。1981年同一篇論文亦提出謝普-奧爾金單調性猜想：若$p_i\le 1/2$，則熵對$p_i$為單調遞增。這個猜想也被 Hillion 和 Johnson 於 2019 年證明。