博雷尔-卡拉西奥多里定理

Template:Refimprove Template:No footnotes 在复分析中，博雷尔-卡拉西奥多里定理（Borel-Carathéodory theorem）表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用，以埃米尔·博雷尔与康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。

定理陈述

设函数$f$在以原点为圆心以$R$为半径的闭圆盘上解析。假设$r<R$，则有以下不等式：

$\Vert f{\Vert }_r\le \frac{2r}{R-r}\underset{|z|\le R}{\sup }\mathrm{Re}f(z)+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|$

其中左边的范数是$f$在闭圆盘上的最大值：

$\Vert f{\Vert }_r=\underset{|z|\le r}{\max }|f(z)|=\underset{|z|=r}{\max }|f(z)|$

证明

定义$A=\underset{|z|\le R}{\sup }\mathrm{Re}f(z)$。

首先设$f(0)=0$。由于$\mathrm{Re}f$是调和的，可以取$A>0$。$f$映到直线$x=A$左边的半平面$P$。我们想把这个半平面映到圆盘上，再用施瓦茨引理，得到所要的不等式。

$w\mapsto w/A-1$把$P$变成标准左半平面。$w\mapsto R(w+1)/(w-1)$把左半平面变成圆心在原点且半径为$R$的圆。它们的复合映射把0映成0，就是所需要的映射：

$w\mapsto \frac{Rw}{w-2A}$

对上面这个映射与$f$的复合使用施瓦茨引理，得到

$\frac{|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}\le |z|$

取$|z|<r$，上式变为

$R|f(z)|\le r|f(z)-2A|\le r|f(z)|+2Ar$

所以

$|f(z)|\le \frac{2Ar}{R-r}$

对于一般的情况，考虑$f(z)-f(0)$

$\begin{array}{cc}|f(z)|-|f(0)|& \le |f(z)-f(0)|\\ & \le \frac{2r}{R-r}\underset{|w|\le R}{\sup }\mathrm{Re}(f(w)-f(0))\\ & \le \frac{2r}{R-r}\left(\underset{|w|\le R}{\sup }\mathrm{Re}f(w)+|f(0)|\right)\\ \end{array}$

整理后即得所要证明的不等式。

参考资料

• Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
• Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.