半立方抛物线

不同a值的半立方抛物线

半立方抛物线（cuspidal cubic）是一個參數式如下的平面代數曲線

$x=t^2$

$y=a{t}^3.$

其Template:Le為

$y^2-a^2{x}^3=0,$

可以求得Template:Math得到以下的式子

$y=\pm a{x}^{\frac{3}{2}}.$

此三次平面曲線在原點有一尖點。

若令Template:Math, Template:Math，且令Template:Math，可得

$X=u^2$

$Y=u^3.$

這意味著，針對任意的實數Template:Math，此曲線都可以位似變換到Template:Math的曲線，也就是說，不同的Template:Math只對應不同的單位長度。

性質

有一種特殊的半立方抛物线，是抛物线的渐屈线，其方程式為

$x=\frac{3}{4}(2y{)}^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}.$

若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開，可以證明也是半立方抛物线：

$x=3(t^2-3)=3t^2-9$

$y=t(t^2-3)=t^3-3t.$

半立方抛物线的另一個特性是其為Template:Le，也就是說一物體在其曲線上，因重力而往下移動，在相同的時間內會移動相同的距離。因此此曲線和等時降線有關，也是物體在不同的位置因重力同時往下移動，會在相同的時間到達最下方。此曲線也和最速降線問題有關，物體沿此軌跡，會從起點以最快速度到達終點。

半立方抛物线等時曲線的特性是由雅各布·伯努利為了回答戈特弗里德·莱布尼茨在1687年提出的一個挑戰，在1690年提出此曲線的特性。

外部連結

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