十七边形

Template:NoteTA Template:Infobox regular polygon 十七边形是指幾何學中有17條邊及17隻角的多邊形。其內角和為2700°，有119條對角線。

正十七邊形是有17邊的正多邊形。正十七邊形的每个內角為Template:Nowrap度。

作圖方法

作圖

1796年高斯证明了可以用尺規作圖作出正十七邊形，同時發現了可作圖多邊形的條件。正十七邊形其中一个作圖方法如下：

英文裏，詹·何頓·康威認為heptadecagon是錯誤的拼法，應為heptakaidecagon。

可作圖性亦同時顯示2π/17的三角函數可以只用基本算術和平方根來表示。高斯的書Disquisitiones包含了這條等式：

$\cos \frac{2\pi }{17}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}.$

證明

設正十七邊形中心角為$\alpha$,则$17\alpha =360^{\circ }$度,

即$16\alpha =360^{\circ }-\alpha$

故$\sin 16\alpha =-\sin \alpha$，而

$\begin{array}{cc}\sin 16\alpha & =2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\ & =2^2\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\ & =2^4\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\ \end{array}$

因為$\sin \alpha \ne 0$，则

$16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1$

又由 $2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$等，有

$2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1$

而$\cos 15\alpha =\cos 2\alpha$，$\cos 12\alpha =\cos 5\alpha$，令

$x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha$

$y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha$

有：

$x+y=-\frac{1}{2}$

又

$\begin{array}{cc}xy& =(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\ & =\frac{1}{2}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\ & =-1\\ \end{array}$

所以，得

$x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$

$y=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$

另设:

$x_1=\cos \alpha +\cos 4\alpha$，$x_2=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha$，

$y_1=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha$，$y_2=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha$

故有

$x_1+x_2=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$

$y_1+y_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$

最後，由

$\cos \alpha +\cos 4\alpha =x_1$

$\cos \alpha \cos 4\alpha =\frac{y_1}{2}$

可得

$\cos \alpha =\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}$

其为整数加減乘除平方根的組合，故正十七邊形可用尺規作出。

外部链接

以下的幾個網頁均有介紹如何正十七邊形的尺規作圖：

• 尺規作圖-正十七邊形 Template:Wayback
• 원에 내접하는 정17각형 Template:Ko
• Constructing the Heptadecagon Template:En
• Weisstein, Eric W. Heptadecagon Template:Wayback Template:En