努梅罗夫方法

努梅罗夫方法属于四阶线性多步法，用于求解不出现一阶微分项的二阶常微分方程。努梅罗夫方法属于隐式方法，但如果微分方程线性，则可转化为显式方法。该方法由 俄国天文学家Boris Vasil'evich Numerov提出。

方法

可由努梅罗夫方法求解的微分方程形式为

$(\frac{d^2}{d{x}^2}+f(x))y(x)=0$

求出函数 $y(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上等距格点上的值，从连续的两个格点上的函数值 $x_{n-1}$ 和 $x_n$ 开始，其他的函数值可由

$y_{n+1}=\frac{(2-\frac{5h^2}{6}{f}_n)y_n-(1+\frac{h^2}{12}{f}_{n-1})y_{n-1}}{1+\frac{h^2}{12}{f}_{n+1}}$

算得。

其中， $f_n=f(x_n)$ 和 $y_n=y(x_n)$ 为在格点 $x_n$ 上的函数值，$h=x_n-x_{n-1}$为格点间距。

对于非线性方程，

$\frac{d^2}{d{t}^2}y=f(t,y)$

则非线性方程的努梅罗夫方法为

$y_{n+1}=2y_n-y_{n-1}+\frac{1}{12}{h}^2(f_{n+1}+10f_n+f_{n-1}).$

该式为隐式的线性多步方法。当 $f$ 是 $y$ 的线性函数时，该式变为显式方法，精度为4阶Template:Harv。

应用

在物理中用于数值求解任意势场中径向薛定谔方程：

$[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }(\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}r-\frac{l(l+1)}{r^2})+V(r)]R(r)=ER(r)$

此式可重写为

$[\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}-\frac{l(l+1)}{r^2}+\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E-V(r))]u(r)=0$

其中 $u(r)=rR(r)$. 与Numerov方法求解的方程形式做比较，

$f(x)=\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E-V(x))-\frac{l(l+1)}{x^2}$

这样，我们可以数值求解薛定谔方程。

推导

从 $y(x_n)$ 的泰勒展开开始， 我们可求 $x_n$ 的相接邻点上的函数值

$y_{n+1}=y(x_n+h)=y(x_n)+h{y}^{\prime }(x_n)+\frac{h^2}{2!}{y}^{″}(x_n)+\frac{h^3}{3!}{y}^{‴}(x_n)+\frac{h^4}{4!}{y}^{⁗}(x_n)+\frac{h^5}{5!}{y}^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x_n)+𝒪(h^6)$

$y_{n-1}=y(x_n-h)=y(x_n)-h{y}^{\prime }(x_n)+\frac{h^2}{2!}{y}^{″}(x_n)-\frac{h^3}{3!}{y}^{‴}(x_n)+\frac{h^4}{4!}{y}^{⁗}(x_n)-\frac{h^5}{5!}{y}^{\prime \prime \prime \prime \prime }(x_n)+𝒪(h^6)$

上两式之和为

$y_{n-1}+y_{n+1}=2y_n+h^2{y}^{\prime }{\text{'}}_n+\frac{h^4}{12}{y}^{‴}{\text{'}}_n+𝒪(h^6)$

用所求微分方程的定义式 $y^{\prime }{\text{'}}_n=-f_n{y}_n$ 替换掉 $y^{\prime }{\text{'}}_n$，

$h^2{f}_n{y}_n=2y_n-y_{n-1}-y_{n+1}+\frac{h^4}{12}{y}^{‴}{\text{'}}_n+𝒪(h^6)$

对所求微分方程的定义式 $y^{\prime }{\text{'}}_n=-f_n{y}_n$ 取二次微分

$y^{⁗}(x)=-\frac{d^2}{d{x}^2}[f(x)y(x)]$

将其代入到四阶微分项中，并把二阶导 $\frac{d^2}{d{x}^2}[f(x)y(x)]$ 替换为 $f_n{y}_n$ 的二阶差分公式 $\frac{f_{n-1}{y}_{n-1}-2f_n{y}_n+f_{n+1}{y}_{n+1}}{h^2}$

$h^2{f}_n{y}_n=2y_n-y_{n-1}-y_{n+1}-\frac{h^4}{12}\frac{f_{n-1}{y}_{n-1}-2f_n{y}_n+f_{n+1}{y}_{n+1}}{h^2}+𝒪(h^6)$

求解 $y_{n+1}$ 可得

$y_{n+1}=\frac{(2-\frac{5h^2}{6}{f}_n)y_n-(1+\frac{h^2}{12}{f}_{n-1})y_{n-1}}{1+\frac{h^2}{12}{f}_{n+1}}+𝒪(h^6).$

忽略掉 $𝒪(h^6)$ 就可以得到努梅罗夫方法，最终收敛阶数为4(假定稳定)。

参考文献

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外部链接

• Lecture notes: Computerphysik und Numerik Template:Wayback - by Jan Krieger
• Lecture notes of Werner Scholz - At Vienna University of Technology
• Lecture notes of Alexander Wagner Template:Wayback