动力学时标

动力学时标（Template:Lang-en）是衡量恒星演化的一个时标，同样也可以用来衡量星云坍缩所需要的时间。其定義爲某一质点从某一物体表面落下，所到达物体中心所需的时间。动力学时标由下式给出：$$t_{ff}=\sqrt{\frac{3\pi }{32}\frac{1}{G{\rho }_0}}$$

理论推导

考虑某一位于恒星表面的质点，该质点的运动方程可以这样被写出：

$a=\frac{{\mathrm{d}}^{2}r}{\mathrm{d}{t}^2}=-\frac{GM(r)}{r^2}$

其中$M(r)$是半径$r$内的质量，$a$是质点受到的加速度。通过解该微分方程，可以解出动力学时标。

通过假设整个恒星是一个球壳，可以粗略估计动力学时标的大小。加速度可以近似为Template:Smallmath，半径$r$内的质量可以近似为恒星的质量（即$M(r)\approx M$），而半径$r$可以近似为恒星的半径$R$，这样可以得到：

$\frac{R}{t_{ff}^2}\approx \frac{GM}{R^2}$

再通过平均密度的定义，可以得出动力学时标的粗略估计：$$t_{ff}\approx \sqrt{\frac{3}{4\pi G{\rho }_0}}$$这与前面的解在量纲上一致。

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