劉維爾函數

Template:About 劉維爾函數（Liouville function）$\lambda (n)$是算術函數。對於正整數n，

$\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$

其中$\mathrm{\Omega }(n)$表示$n$的質因子數目（可重覆）（$\mathrm{\Omega }(n)$表示Template:Le）。因為$\mathrm{\Omega }(n)$是完全加性函數，所以$\lambda (n)$是完全積性函數。（OEIS:A008836）

$\sum _{d|n}\lambda (d)=\{\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}$	若$n$是平方數
	若$n$非平方數。

對於狄利克雷卷積，$\lambda$的逆函數為$|\mu (n)|$，其中$\mu$為默比烏斯函數。

λ和μ的關係還有：$\lambda (n)=\sum _{d^2|n}\mu \left(\frac{n}{d^2}\right)$

L(n)的圖象，n=1 至 10000

1919年，喬治·波利亞猜想對於正整數$n>1$，$L(n)=\sum _{k=1}^n\lambda (k)\le 0$。1980年，Template:Link-jp找到反例$n=906150257$。

參考

• -{R|http://eom.springer.de/L/l059620.htm}-Template:Wayback